Ley de gauss

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En la unidad de interacción eléctrica utilizamos la ley de Coulomb para calcular el campo eléctrico generado por una distribución discreta o continua de cargas. Ahora, introduciremos un nuevo metodo para calcular los campos eléctricos, conocido como ley de Gauss. Esta ley es aplicable para distribuciones de cargas eléctricas con alto grado de simetría.

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Fisica II
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19/08/2010

FLUJO ELÉCTRICO

La definición de flujo de campo eléctrico E a través de unasuperficie cerrada (Fig. 1) es

Φ E = ∫ E ⋅ d s , donde,

(Fig. 1) a) el símbolo



representa una integral sobre una superficie cerrada,

b) d s es un vector que tiene magnitud ds igual a una diferencial de área sobre la ˆ superficie, y que apunta en la dirección del vector normal n dirigido al exterior de la superficie, y c) E ⋅ d s es un producto escalar ( E ⋅ d s = E ds cosθ), que dependede la superficie, y del campo E .

EJERCICIO 1.

Escribir en forma vectorial cada una de las áreas indicadas en las figuras 2,3 y 4.

Fig. 2

Fig. 3

Fig. 4

EJERCICIO 2. Escribir en forma vectorial el área inclinada de la figura 5.

Fig. 5 SOLUCIÓN Del triángulo rectángulo, H 2 = 40 2 cm 2 + 40 2 cm 2 = 1600 cm 2 + 1600 cm 2 es decir : H 2 = 0.32m 2 ∴ H = 0.32m

De la figuraresulta que, θ = 45° y es cierto que : A = (20)( H )cm 2 = 0.20 0.32m 2 En forma vectorial la superficie A se escribe: r A = Ax i + Ay j r = ( Ax Cosθ ) i + ( Ay Senθ ) j

=A

2r 2 i+A j 2 2 Finalmente : r r r A = [0.10 0.32 0.2 i + 0.10 0.32 0.2 j ]m 2

EJERCICIO 3.

Fig 6 La figura 6 muestra un cilindro cerrado hipotético de radio R inmerso en un campo uniforme, E , siendo el eje delcilindro paralelo al campo. ¿Cuál es el valor del flujo eléctrico φ E a través de esta superficie cerrada? SOLUCIÓN: El flujo puede escribirse como la suma de tres términos: una integral (a) sobre la base izquierda, una (b) sobre la superficie cilíndrica, y una (c) sobre la base derecha. Entonces,

φ
(a)

E

r r = ∫ E ⋅ ds =

r r E ⋅ ds = ∫ E ds cos180 = − E ∫ ds = − EA ∫

(a)

∫ E ⋅ ds + ∫E ⋅ ds + ∫ E ⋅ ds
(b) (c)

r

r

r

r

r

r

(b)

r r E ⋅ ds = 0 ∫

porque r r E ⋅ ds = ∫ E ds cos 0 = E ∫ ds = EA ∫
(c)

El flujo será por consiguiente,

Las líneas de E entran por la izquierda y salen por la derecha.

EJERCICIO 4.

Consideremos el flujo eléctrico a través de una superficie cúbica cerrada, si el campo eléctrico es perpendicular a las caras superior einferior de la figura 7a. El campo eléctrico en la cara superior, E s , es mayor que en la cara inferior, Ei , lo que se ha indicado gráficamente al representarlo por una densidad mayor de líneas. Describamos cualitativamente los diferentes pasos para obtener el flujo neto a través de la superficie cerrada:

fig.(7a) fig.(7b)

fig.(7c)

fig.(7d)

El flujo eléctrico a través de la carasuperior fig 7b es
r E s ⋅ d s = E s d s cos(180°) = − E s ds

y el flujo eléctrico a través de la cara inferior en 7b es
r r Ei ⋅ d s = E d s cos(0°) = + Ei ds

Vemos que el flujo a través de la cara superior es más grande en tamaño, que el flujo a través de la cara inferior. La contribución al flujo, por parte de las restantes caras, es nula porque el ángulo formado por el campo E y d s es90° (figuras 7c y 7d). El flujo neto a través de todo el cubo es entonces negativo, pues φ E = ( Ei − E s ) | ds | . Si el campo E fuese uniforme, el flujo eléctrico neto a través de la superficie del cubo sería cero ya que E s = Ei = E , por lo que
Φ E = − EA + EA = 0

LEY DE GAUSS

La ley de Gauss es una herramienta poderosa para determinar campos eléctricos en situaciones de simetría, y...
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