Ley de gauss

Ley de Gauss
La ley de Gauss relaciona el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada y la carga eléctrica encerrada en esta superficie. De esta misma forma, también relaciona la divergencia del campo eléctrico con la densidad de carga.
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Flujo del campo eléctrico

Flujo eléctrico a través de una superficie esférica.
El flujo (denotado como Φ) es una propiedad de cualquiercampo vectorial referida a una superficie hipotética que puede ser cerrada o abierta. Para un campo eléctrico, el flujo (ΦE) se mide por el número de líneas de fuerza que atraviesan la superficie.
Para definir al flujo eléctrico con precisión considérese la figura, que muestra una superficie cerrada arbitraria dentro de un campo eléctrico.
La superficie se encuentra dividida en cuadradoselementales ΔS, cada uno de los cuales es lo suficientemente pequeño como para que pueda ser considerado plano. Estos elementos de área pueden ser representados como vectores , cuya magnitud es la propia área, la dirección es normal a la superficie y el sentido hacia afuera.
En cada cuadrado elemental también es posible trazar un vector de campo eléctrico. Ya que los cuadrados son tan pequeños como sequiera, E puede considerarse constante en todos los puntos de un cuadrado dado.
y caracterizan a cada cuadrado y forman un ángulo θ entre sí y la figura muestra una vista amplificada de dos cuadrados.
El flujo, entonces, se define como sigue:
(1)
O sea:
(2)
Flujo para una superficie cilíndrica colocada en un campo uniforme

Flujo eléctrico a través de una superficie cilíndrica.Supóngase una superficie cilíndrica colocada dentro de un campo uniforme tal como muestra la figura:
El flujo ΦE puede escribirse como la suma de tres términos, (a) una integral en la tapa izquierda del cilindro, (b) una integral en la superficie cilíndrica y (c) una integral en la tapa derecha:

Para la tapa izquierda, el ángulo θ, para todos los puntos, es de π, E tiene un valor constante y losvectores dS son todos paralelos.
Entonces:

siendo S = πR2el área de la tapa. Análogamente, para la tapa derecha:

Finalmente, para la superficie cilíndrica:

Por consiguiente: da cero ya que las mismas líneas de fuerza que entran, después salen del cilindro.

Flujo para una superficie esférica con una carga puntual en su interior

Flujo eléctrico de una carga puntual en el interior deuna esfera.
Considérese una superficie esférica de radio r con una carga puntual q en su centro tal como muestra la figura. El campo eléctrico es paralelo al vector superficie , y el campo es constante en todos los puntos de la superficie esférica.
En consecuencia:

Aplicaciones
Distribución lineal de carga
Sea una recta cargada a lo largo del eje z. Tomemos como superficie cerrada uncilindro de radio r y altura h con su eje coincidente al eje z. Expresando el campo en coordenadas cilíndricas tenemos que debido a la simetría de reflexión respecto a un plano z=cte el campo no tiene componente en el eje z y la integración a las bases del cilindro no contribuye, de modo que aplicando la ley de Gauss:

Debido a la simetría del problema el campo tendrá dirección radial y podemossustituir el producto escalar por el producto de módulos (ya que la dirección de la superficie lateral también es radial).

Despejando el campo y añadiendo su condición radial obtenemos:

Distribución esférica de carga

Considérese una esfera uniformemente cargada de radio R. La carga existente en el interior de una superficie esférica de radio r es una parte de la carga total, que se calculamultiplicando la densidad de carga por el volumen de la esfera de radio r:

Si Q es la carga de la esfera de radio R, entonces, se tiene:

Dividiendo miembro a miembro ambas expresiones y operando apropiadamente:

Como se demostró en una sección anterior y teniendo en cuenta que según la ley de Gauss, se obtiene:

Por lo tanto, para puntos interiores de la esfera:
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Y para puntos...