Ley del seno y coseno

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LEY DEL SENO

La ley del seno dice que en cualquier triángulo las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos correspondientes.
En el triángulo ABC se tiene

sen αa=sen βb=sen γc

DEFINICIÓN




Considérese el triángulo ABC con ángulos, y con lados opuestos a, b, c, respectivamente. Si conocemos la longitud de un lado y otras dos partesdel triángulo, podemos encontrar las tres partes restantes, y estos se logra gracias a ley del seno.

Ejemplo:
Sea h la altura desde el vértice A hasta el lado BC:
hcsen β
h =c sen β
Similarmente:
hb=sen γ
h=b sen γ
O igualando las expresiones: h =c senβ y h=b sen γ tenemos que:
c senβ= b senγ
de manera que
sen βb=sen γc
De manera similar podemos probar que:
sen αa=sen βb
Combinado sen βb=sen γc y sen αa=sen βb obtenemos que:
sen αa=sen βb=sen γc

Resolución de triángulos: cuatro casos
En general, podemos usar la ley del seno para resolver triángulos para los cuales sabemos: (1) dos ángulos y cualquiera delos lados, (2) dos lados y un ángulo opuesto a alguno de estos lados. Aquellos para los cuales sabemos (3) tres lados, o (4) dos lados y el ángulo comprendido no pueden ser resueltos directamente aplicando la ley del seno.
En ejemplos en los que se nos den dos ángulos y un lado (caso (1)), el triángulo tiene una sola solución, sin embargo, esto puede no ser cierto en todos los casos, como el(2), donde conocemos dos lados y un ángulos opuesto a alguno de estos lados. Por ejemplo, supongamos que los lados b y c y el ángulo β del triángulo ABC se nos especifican. Entonces, dibujamos el ángulo β y el lado c para localizar los vértices A y B. El tercer vértice C se localiza en la base dibujando el arco de un círculo de radio b con centro A. A continuación se muestra que hay cuatroresultados posibles para esta construcción:

(a) El arco no interseca la base y no se forma ningún triángulo.
(b) El arco interseca la base en dos puntos distintos C1 y C2 y se forman dos triángulos.
(c) El arco interseca la base en un punto y se forma un triángulo.
(d) El arco es tangente a la base, y forma un triángulo rectángulo.

Al existir esta variedad de posibilidades, el caso (2) sedenomina caso ambiguo. Los siguientes tres ejemplos ilustran resultados de dos soluciones, una solución, y de no solución para resultados de casos ambiguos.

Ejemplo:

Encuentre las partes restantes de un triángulo con β=50o, b=5 y c=6.

Solución: A partir de la ley del seno tenemos que:

sen 50°5=sen γ6

sen γ=6 sen 50°5≈60.76605≈0.9193

De una calculadora adaptada al modo de grados,obtenemos γ≈66.82°. En este punto de la solución es esencial recordar que la función seno es positiva también para los ángulos del cuadrante II. Hay otro ángulo que satisface 0°≤γ≤180° para el cual γ≈0.9193. Utilizando 66.820 como ángulo de referencia, encontramos el ángulo es el cuadrante II:

1800 – 66.820 = 113.180

Como consecuencia, las dos posibilidades para γ son:
γ1≈66.82° yγ2≈113.18°

Entonces, como lo muestra la siguiente figura, hay dos triángulos posibles: ABC1 y ABC2 que satisfacen las condiciones dadas.

Para completar la solución del triángulo ABC1 que se muestra en la figura (a), primero encontramos α1:

α=180°-γ-β
≈180°-66.82°-50°=63.18°

Para encontrar α, utilizamos

sen 63.18°α=sen 50°5

lo cual nos da
α1=5sen 63.18°sen 50°=50.8925°0.7660≈5.83Completamos la solución para el triangulo ABC1 que se muestra en la figura (b) de manera similar. Como γ2≈113.18°,
a2≈180°-113.18°-50°=16.82°
Encontramos a2 a partir de la ley del seno:
sen 16.82°a2=sen 50°5
a2=5sen 16.82°sen 50°≈50.28940.7660≈1.89
APLICACIONES

Vuelo de un avión. Un piloto vuela sobre una carretera recta. Determina los ángulos de depresión hasta dos postes de...
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