leyes de composicion y estructuras algebraicas

CAPITULO V
LEYES DE COMPOSICIÓN Y ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS


ÍNDICE:
1. Introducción
2. Leyes de composición interna
3. Propiedades de las leyes de composición interna
3.1 Asociatividad
3.2 Conmutatividad
3.3 Existencia de Elemento Neutro
3.4 Existencia de Inversos en una ley interna con neutro
3.5 Regularidad de un elemento respecto de una ley interna
3.6 Distributividad de una leyde composición interna respecto de otra
4. Ley de composición externa
5. Estructuras algebraicas
5.1 Estructura de semigrupo
5.2 Estructura de grupo
5.3 Estructura de anillo
5.4 Estructura de cuerpo
6. Homomorfismo
6.1 Isomorfismo
6.2 Homomorfismo de anillos
6.3 Núcleo e Imagen de un homomorfismo
EJERCICIOS
1. INTRODUCCIÓN
Por aritmética se sabe que la suma es una operación binariaen el conjunto N de los números naturales. Es decir, la suma de dos elementos de N da como resultado un tercer elemento de N, denominado suma. Así, en símbolos se tiene
∀ a, b ∈ ℕ ⟹a + b ∈ℕ
Esta idea también se cumple para la operación de la multiplicación, pues el producto de dos números naturales es otro número natural. Así, se dice que la suma y la multiplicación son operaciones binarias enN.
A continuación se precisa este concepto de operación binaria desde el punto de vista de una función la cual se conoce como una ley de composición interna.
Posteriormente se definen las leyes de composición externa y estructuras algebraicas, con vistas a su utilización en la estructura de espacio vectorial.

2. LEYES DE COMPOSICIÓN INTERNA
Una ley de composición interna en un conjunto novacío A es una operación binaria que asocia a cada par ordenado de elementos de A un único elemento de A. Dicho brevemente, una ley de composición interna definida en un conjunto no vacío A es toda función de A x A en A.
En símbolos ∗ es una ley interna en A ⟺ ∗ : A x A ⟹ A
Es decir a ∈ A ∧ b ∈ A ⟹ a ∗ B ∈ A
Por ejemplo, la adición es una ley interna en el conjunto A de los números enteros pares,pues, la suma de dos números enteros pares es otro número entero par. Pero, esta operación no es una ley interna en el conjunto B de los números enteros impares, ya que la suma de dos números enteros impares no es un entero impar.
Es decir si a ∈ A ∧ b ∈ A ⟹ a + b ∈ A
Esto significa si 2 ∈ A ∧ 4 ∈ A ⟹ 2 + 4 = 6 ∈ A
Pero si a ∈ B ∧ b ∈ B ⟹ 3 + 5 = 8 ∉ B
Esto es si 3 ∈ B ∧ 5 ∈ B ⟹ 3 + 5 = 8 ∉ BEjemplo: La tabla adjunta, que define una cierta operación binaria o ley interna en el conjunto A = {a, b, c, d}.
∗
a
b
c
d
A
a
b
c
D
B
b
c
d
A
C
c
d
a
B
D
d
a
b
C

debe leerse así: Para cada par ordenado (x, y) de a A x A se encuentra en x ∗ y en la intersección de la fila x y la columna y. Por ejemplo
b ∗ c = d c ∗ d = b d ∗ b = a d ∗ d = c etc.
El hecho deque ∗ sea una ley interna en el conjunto A, se dice que el conjunto A es cerrado con respecto a la operación.

3. PROPIEDADES DE LAS LEYES DE COMPOSICIÓN INTERNA
Consideremos a ∗ una ley de composición interna en el conjunto A, es decir,
∗ : A x A ⟶ A
3.1 ASOCIACIATIVIDAD
Una ley interna ∗ en A es asociativa si (a ∗ b)∗ c = a ∗(b ∗ c) para cualquiera a, b y c ∈ A.
3.2 CONMUTATIVIDADUna ley de composición interna ∗ en A es conmutativa si se verifica que a ∗ b = b ∗ a para todo a, b y c ∈ A.
3.3 EXISTENCIA DE ELEMENTO NEUTRO
Un conjunto A esta dotado de elemento neutro con respecto a una ley interna ∗ sobre A si existe un elemento e ∈ A con la propiedad de qué e ∗ a = a ∗ e = a para todo a ∈ A.
3.4 EXISTENCIA DE INVERSOS EN UNA LEY INTERNA CON NEUTRO
Sea un conjunto A queposee el elemento neutro e con respecto a una ley interna ∗. Un elemento a’ ∈ A se dice que es inverso de a ∈ A si a ∗ a’ = a’ ∗ a = e
Teoremas
I: El elemento neutro, si existe, de un conjunto A con respecto a una ley interna ∗ sobre A es único.
II: Sea ∗ una ley interna sobre un conjunto A. Si un elemento a ∈ A admite inverso respecto de la ley ∗, entonces dicho inverso es único.

3.5...