Leyes de exponentes y logaritmos

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Facultad de Contaduría y Administración. UNAM

Leyes de exponentes y logaritmos

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

MATEMÁTICAS BÁSICAS LEYES DE EXPONENTES Y LOGARITMOS
LEYES DE EXPONENTES
Sea un número real x . Si se multiplica por sí mismo se obtiene x ⋅ x . Si a este resultado se multiplica nuevamente por x resulta x ⋅ x ⋅ x . De manera sucesiva, si x se multiplica por si misma nveces, se obtiene: x ⋅ x ⋅ x ⋅ ⋅ ⋅ x
n veces

Para simplificar este tipo de expresiones se acostumbra utilizar una notación abreviada, tal que:

x ⋅ x = x2 x ⋅ x ⋅ x = x3 x ⋅ x ⋅ x ⋅ x = x4 x ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ x = x5
y en general:

x ⋅ x ⋅ x ⋅⋅⋅ x = xn
n veces

Donde x es llamada base y el número n escrito arriba y a su derecha, es llamado exponente. El exponente indica el número de vecesque la base se toma como factor. Primera ley de los exponentes Sea un número real x diferente de cero y dos números naturales n y m también diferentes de cero. Entonces, se cumple que:

x n ⋅ x m = x n+ m
Al multiplicar potencias con la misma base, se mantiene la base y se suman los exponentes. Ejemplos.

(x )(x ) = x = x 2) (4a )(5a ) = 20a 3) (2k )(− k )(5k ) = −10k 3  4) (8ab ) a b  =6 a b 4 
1)
3 2 3+ 2 5 2 6 8 4 2 7
3 2 3 4

13

5)

48 9 10 1  6 3 5  8 6 4  1  p q = − p 9 q10  p q  − p q  q  = − 240 5 5  4  12 

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Leyes de exponentes y logaritmos

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

Segunda ley de los exponentes Sea un número real x diferente de cero y dos números naturales n y mtambién diferentes de cero. Entonces, se cumple que:

xn x
m

= x n−m

Al dividir potencias con la misma base, se mantiene la base y se restan los exponentes. Ejemplos.

x7
1)
4

x 10 a 8 = −2 a 5 2) 3 − 5a
− 28 k 7 m 3
5

= x 7 −4 = x 3

3)

− 7k m 2 6 a 8 3 = a2 4) 1 3 a4 4
2 2

= 4k 2 m 2

5)

− 32 x 3 y 6 z 7

2 = − xy 4 z 6 3 48 x y z

Tercera ley de losexponentes Sea un número real x diferente de cero. Si en la ley anterior, se hace que

n = m , se tiene que:

xn x
n

= x n−n = x 0 .

Pero al dividir una expresión por si misma el resultado es la unidad, así que se cumple que:

x0 = 1
Cualquier base diferente de cero elevada a la potencia cero es uno.

x2
1)
2

x 0 2) 5a = 5(1) = 5

= x 2−2 = x 0 = 1

3)

(xyz )0 = 1

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4)

=3 9a 3 x3 x4 x6 x13 = = − x13−13 = − x 0 = −1 5) 6 7 13 −x x −x

27 a 3

Cuarta ley de los exponentes Sea un número real x diferente de cero y dos números naturales n y m también diferentes de cero. Entonces, se cumple que:

(x )
Ejemplos. 1)

n m

= x n⋅mAl elevar una potencia a otra potencia, se mantiene la base y se multiplican los exponentes.

2) a

( ) 3) (e )

(x )

3 2

= x 3(2 ) = x 6
= a 3(4 ) a 12 = e 5 (3 ) = e15

3 4

5 3

Quinta ley de los exponentes Sean dos números reales x y Entonces, se cumple que:

y

diferentes de cero y un número natural n también diferente de cero.

(xy )n = x n y n
El producto de uno omás factores que se elevan todos a la vez a un exponente es igual a un producto de cada factor elevado al exponente. Ejemplos.

( ) = 5 ⋅ a b = 625 a b 4) (4 xy ) = 4 ⋅ x ⋅ y = 16 x y 10 5) ( m n p ) = 10 ⋅ m ⋅ n p
3 3) 5ab 4 4 4 12
2

( ) = 2 ⋅a 2) (− 3k ) = (− 3)
1) 2 a
2 5 5 4 3
2 2 5 2 2 3 6

10 3

= 32 a10 ⋅ k 12 = −27 k 12
4 12
2

6

6

6

30

12

18

= 1' 000,000 m 30 n12 p18

Sexta ley de los exponentes Sean dos números reales x y Entonces, se cumple que:

y

diferentes de cero y un número natural n también diferente de cero.

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x xn   = n,  y y  

n

y≠0

El cociente de uno o más factores que se...
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