Leyes de Kirchoff, aplicando matrices

Objetivos

Demostrar usos prácticos de temas vistos en el curso de Calculo II.
Encontrar aplicaciones en las cuales se usen las matrices.
Mostrar ejemplos resueltos de matrices.
Aplicar las leyes de Kirchhoff para analizar circuitos.

















Introducción

El Algebra es una rama de la matemática y en la Ingeniería esta es muy usada para resolución deproblemas. Específicamente en el campo de la electrónica es utilizada para resolver problemas, por ejemplo en este trabajo será una herramienta para encontrar la solución de circuitos eléctricos, donde se requiere resolver matrices, en algunos casos matrices de 4x4 y de mayor magnitud.











Justificación

Anteriormente cursando Circuitos Eléctricos notamos el uso de las matricespara la resolución de circuitos, por lo tanto al volvernos a encontrar con el tema se nos hizo facilito la escogencia para presentarlo como proyecto de Calculo II. Ya que teníamos una idea clara de una de las aplicaciones de la misma.
Marco Teórico

Circuito eléctrico: Un circuito es una red eléctrica (interconexión de dos o más componentes, tales como resistencias, inductores, condensadores,fuentes, interruptores y semiconductores) que contiene al menos una trayectoria cerrada. Los circuitos que contienen solo fuentes, componentes lineales (resistores, condensadores, inductores) y elementos de distribución lineales (líneas de transmisión o cables) pueden analizarse por métodos algebraicos para determinar su comportamiento en corriente directa o en corriente alterna. Un circuito quetiene componentes electrónicos es denominado un circuito electrónico. Estas redes son generalmente no lineales y requieren diseños y herramientas de análisis mucho más complejos.
Ley de Ohm: Los materiales en general poseen el comportamiento característico de oponer resistencia al flujo de carga eléctrica. Esta propiedad, o capacidad para resistir a la corriente, se conoce como resistencia y serepresenta con el símbolo R. El resistor es el elemento pasivo más simple. Se acredita Georg Simon Ohm, físico Alemán, el descubrimiento de la relación de la corriente (A) y tensión (V) en un resistor. Esta relación se conoce como Ley de Ohm.
Fórmula de la Ley de Ohm V=I•R
Las leyes de Kirchhoff: Fueron formuladas por Gustav Kirchhoff en 1845, mientras aún era estudiante. Son muy utilizadas eningeniería eléctrica para obtener los valores de la corriente y el potencial en cada punto de un circuito eléctrico. Surgen de la aplicación de la ley de conservación de la energía.
Desarrollo
En este trabajo se les explicará cómo encontrar las corrientes que pasan por cada malla en un circuito. Pero, ¿qué es una malla?
En un circuito eléctrico, una malla es un camino cerrado formado porelementos de circuitos.
Según la Ley de los Voltajes de Kirchhoff, la sumatoria de los voltajes en una malla es igual a cero. Recordemos la fórmula descrita en el marco teórico, cuando una corriente pasa por un elemento de circuito, en este caso una resistencia se produce una diferencia de potencial. La Ley de Ohm establece que la diferencia de potencial (voltaje) en una resistencia es igual a lacorriente por la resistividad del elemento, es decir: V=I•R
Problemas

Problema (con solución)
En este primer caso tenemos un circuito formado por cuatro mallas. Debemos encontrar las corrientes que pasan por cada malla.
Para iniciar el análisis debemos tomar en cuenta que en un circuito eléctrico la corriente sale del positivo (+) y entra por el negativo (-) de la misma.
Las corrientes lasdebemos representar en nuestro diagrama de la siguiente manera:
Podemos notar que en la Malla 1 se asume que la corriente va en sentido horario ya que sale del positivo de la fuente. En las otras mallas (excepto la 4) no hay fuente, así que se asume libremente. En la Malla 4 la corriente va en sentido anti-horario por salir del positivo de la fuente de voltaje.
Luego de escoger el sentido de...