Leyes de los exponentes

Leyes de los exponentes
Los exponentes también se llaman potencias o índices

El exponente de un número dice cuántas veces se multiplica el número.
En este ejemplo: 82 = 8 × 8 = 64
En palabras: 82 se puede leer "8 a la segunda potencia", "8 a la potencia 2" o simplemente "8 al cuadrado"


Leyes de los exponentes
Primera ley : Producto de potencias con la misma base.
El producto depotencias con la misma base (distinta de cero) es igual a la base elevada a la suma de los exponentes.




Ejemplo:
a³ • a²
Por la definición de potencia se tiene:




Donde a aparece 5 veces como factor, por lo tanto:
a³ • a² = a³+² =a5

Segunda ley 

El cociente de potencias con la misma base es igual a la base elevada a la diferencia de los exponentes.





Ejemplo: Por la definición de potencia se tiene:




Al cancelar factores iguales queda:






Otro ejemplo




:
 Y se sabe que:





Por consecuencia: 





Todo número exponente negativo es igual a su inverso con exponente positivo




 
Tercera ley : Potencia de una potencia
La potencia de otra potencia de la misma base (distinta de cero) es igual que labase elevada al producto de los exponentes.




Ejemplo: (a3)4

 Por la definición de potencia se tiene:





Apoyándose en la ley 1;







Cuarta ley : Potencia de un producto
La potencia de un producto es igual que el producto de la misma
potencia de los factores





Ejemplo:(ab)³
Al aplicar la definición de potencia:
(ab)³ = ab • ab • ab
Aplicando la ley conmutativa:(ab)³ = a • a • a • b • b • b 
Y como la potencia es una multiplicación abreviada, queda:
a³b³

 
Quinta ley :Cuando un cociente se eleva a una potencia
Para elevar una fracción a un exponente se eleva el numerador y el denominador a dicho exponente.





Ejemplo:




 Aplicando la definición de potencia:




Abreviando la multiplicación de fracciones:




Lossiguientes casos se deducen de las leyes anteriores. En la división de potencias de la misma base y exponente se aplica la segunda ley y resulta que:
 Todo número diferente de cero con exponente 0 es igual a 1
Ejemplo:





a° = 1



 
 
El concepto de exponente es de mucha utilidad para expresar números en una forma más corta.  Por ejemplo: el producto 2 x 2 x 2 x 2 x 2 se expresa de laforma 25 y se lee “dos a la cinco”.  La expresión  2 x 2 x 2 x 2 x 2 está en la forma expandida y la expresión 25 es una expresión exponencial.  El valor 32 es la quinta potencia de 2.
 
 
Definición:  La expresión xn significa que x aparece multiplicada n veces.  x se conoce como la base y n como el exponente.  Se llama potencia al valor que se obtiene al multiplicar la base n veces.  Estoes,  xn =  x · x · x · x  ·  ·  ·  multiplicado por si mismo n veces.
 
Ejemplos:
 
1) La notación exponencial de (-3)(-3)(-3)(-3) es (-3)4.
2) La notación exponencial de b · b · b  es  b3.
3) El valor de (-2)4 es (-2)(-2)(-2)(-2) = 16.  La expresión (-2)4  se lee “ negativo dos a la cuatro”.
4) El valor de -24 es –(2 · 2 · 2 · 2) = -(16) = -16.  La expresión -24 se lee “el opuesto de dos a lacuatro”.
5) ¿Cuál es el valor de (⅔)3 ?
 
 
Definición:  Para toda base x,  x1 = x.  Esto es, cualquier número elevado a la uno es el mismo número.
 
Ejemplos:  31 = 3;  (17)1 = 17;  (259)1 = 259
 
 
Definición: Cualquier número diferente de cero, elevado a la cero es igual a uno.  Esto es, para toda base x,  x ≠ 0,  x0 = 1.
 
Ejemplos:  30 = 1;  (-5)0 = 1;  (⅝)0 = 1;  00 no está definido
 
  
 
Definición:  Cualquier número diferente de cero y n un número entero, tenemos:

 
Ejemplos: 

 
Ejercicio:  Halla el valor de:
 
1) 42 =
2) (-4)2 =
3) -42 =
4) (⅜)2 =
5) 4-2 =
6) (⅔) -2 =
 
 
Leyes de Exponentes
 

 
Las leyes de los exponentes son 7,

1. al multiplicar los exponentes se suman
x^p*x^q=x^(p+q)
x^2*x^3=x^5

2. al dividir los exponentes se...