Libro De Nivelacion En Precalculo 1
Introducción al Cálculo
Dra. Irene F. Mikenberg
Álgebra e Introducción al Cálculo
Dra. Irene F. Mikenberg
Álgebra e Introducción al Cálculo
Dra. Irene F. Mikenberg
Facultad de Matemáticas
Pontificia Universidad Católica de Chile
2 de enero de 2013
II
Prólogo
XVII
1 Lenguaje Matemático
1
1.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
1
1.2 Lenguaje Matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2.1 Proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2.2 Conectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2.3 Predicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2.4 Cuantificadores . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.3 Las Leyes de la Lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.3.1 Verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.3.2 Verdad lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.3 Contradicciones
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.4Equivalencia lógica
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.5 Consecuencia lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.6 Verdades lógicas usuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.1 Negación de una proposición dada . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 19
1.4.2 Demostraciones por contradicción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.3 Demostraciones por contraposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5 Problemas Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.6 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Autoevaluación 1
36
2 Los Números Reales
37
2.1Sistemas Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2 Operaciones Básicas en los Números Reales:
Suma y Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3 Orden de los Números Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.4 Conjuntos de Números Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
III
2.5Completud de los Números Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.6 Ecuaciones e Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.6.1 Ecuaciones en una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.6.2 La ecuación de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.6.3 La ecuación de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59
2.6.4 Inecuaciones en una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.6.5 Inecuación de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.6.6 Inecuación de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.7 Problemas Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.8 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 70
Autoevaluación 2
3
74
Relaciones y
Funciones
75
3.1 Pares Ordenados y Producto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.2 Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.2.1 Noción intuitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.3 Gráfico de Relaciones Reales . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 80
3.3.1 Ecuación e inecuación de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.4 Concepto de Función y Propiedades Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.5 Gráficos de las Funciones Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.6 Estudio de una Función Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.7 Sucesiones . . . . . . . . ....
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