Libro mario felipe londoño cap 5

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CAPÍTULO 5. TRABAJO Y ENERGÍA
5.1 EL TEOREMA DEL TRABAJO Y LA ENERGÍA
La dinámica de una partícula, es decir, el estudio del movimiento de un cuerpo que puede ser considerado como un punto material, tiene como base la segunda ley de Newton,

∑F

r

r r = F total = m a

según la cual, la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre la partícula es igual a su masa por suaceleración, ley válida respecto a un marco inercial de referencia. Consideremos una partícula que se mueve a lo largo de una trayectoria, desde una situación A hasta una situación B. En una situación la partícula tiene una posición y una velocidad determinadas.

B v m FTotal

A
r En situación general, hemos representado la fuerza resultante o total, F total , y el vector velocidad. Vamos a hacer unaelaboración matemática a partir de la segunda ley. r Multipliquemos escalarmente por v a ambos lados.
r r r r F total . v = m a . v . Transformemos un poco el término de la derecha:
r r r r r⎞ dv r d ⎛1 ma.v = m .v = ⎜ m v . v⎟ , dt dt ⎝2 ⎠ en donde la última igualdad se ve más fácilmente en sentido inverso. En efecto, derivando como un producto, con m constante,
r r r r r⎞ ⎡ r dv d v r⎤ dv r d⎛1 1 + m ⎢ v. . v⎥ = m .v. ⎜ m v . v⎟ = dt ⎝2 2 dt dt ⎦ dt ⎠ ⎣

(1)

r r Pero el producto escalar v . v no es otra cosa que la magnitud de la velocidad al cuadrado,

191

192 r r v . v = v2 . Definamos Energía cinética, K, de una partícula, como
K = 1 m v2 2

Londoño - Introducción a la mecánica

.

El lado derecho de (1) es entonces simplemente
r r dK m a.v = , dt

Y podemosescribir (1) como

r r F total . v d t = d K ,
r r r r dr que, teniendo en cuenta que v = y por tanto d r = v d t , puede escribirse, integrando dt desde la situación A hasta la situación B, como

∫A

B

r r F total . d r =

∫A

B

d K = KB − KA ,

en donde K B y K A son las energías cinéticas evaluadas en las situaciones B y A,

1 m vB2 2

1 m v A 2 , y la integral de laizquierda es por definición el trabajo realizado por la 2 fuerza total a lo largo de la trayectoria, entre las situaciones A y B, que escribiremos como

y

total WA → B , y así total WA → B = K B − K A

,

el trabajo realizado por la fuerza total o resultante es el cambio en la energía cinética de la partícula, resultado de gran importancia, conocido como principio o Teorema del Trabajo y laEnergía Cinética, o simplemente teorema del Trabajo y la Energía, válido, como la segunda ley de la que proviene, respecto a un marco inercial de referencia. El lado derecho, cambio en la energía cinética, ∆ K = K B − K A , no ofrece dificultad. Lo novedoso es el término de la izquierda, el concepto de trabajo. Antes de retornar al teorema del trabajo y la energía y a sus aplicaciones, vamos pues aestudiar el concepto de trabajo hecho por una fuerza.

Trabajo y energía

193

5.2

TRABAJO HECHO POR UNA FUERZA

Consideremos una partícula que se mueve a lo largo de una trayectoria entre las situaciones A r y B. Sea F una fuerza que actúa sobre la partícula (no necesariamente la fuerza resultante o total, sino una de las fuerzas que actúan sobre ella). En una posición general, φ es elángulo r r entre los vectores F , fuerza, y v , velocidad de la partícula. Tomemos la longitud de arco s medida por la curva desde A hasta la situación general.

B m s A v φ

F

r r dr De la cinemática sabemos que v = y por tanto puede escribirse dt r r d r = v dt.

Además, como v t =

ds , siendo v t > 0 pues hemos elegido s en la dirección del dt movimiento de la partícula y por tanto lacomponente en dirección tangencial coincide con la magnitud de la velocidad, v, ds = v dt

Con estos preliminares sobre notación, vamos ahora a la definición de trabajo.

r El trabajo hecho por una fuerza F , que actúa sobre una partícula, a lo largo de una trayectoria, entre las situaciones A y B, se define como
WA → B =

∫A

B

r r F.dr ,

que también puede escribirse como WA...
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