Libro matematica

Capítulo 1
Números Reales
1.1.

Ecuaciones e inecuaciones en los números
reales

Una expresión algebraica en una variable puede estar dada, por ejemplo,
por expresiones como las siguientes:
x 5 p
;
x 5 4; j2x 5j
x2 4
Y cuando se hace referencia a resolver una ecuación o inecuación", se trata
de determinar todos los valores de la variable involucrada que veri…can que
dicha expresiónsea cero (ecuación) o sea positiva o negativa (inecuación).
Así, se puede plantear el problema de determinar los valores de x que
satisfacen cada una de las siguientes condiciones:
x + 3; 2x2

4;

x+3=0
2x2

4>0

x
x2
p

x

Ecuación lineal

5

Inecuación cuadrática

5
cb:
3

Por ejemplo, se emplea para hallar x en la inecuación:
2x < 7
1
2

1
)(7)
2

( 2x) >(

7
2
En la penúltima línea se empleó además la propiedad asociativa de la
multiplicación.
7. Si ac < bc y c > 0, entonces a < b:
Por ejemplo, se emplea para hallar x en la inecuación:
x>

(x + 5)(x2 + 1) < (3x

2)(x2 + 1)

Como x2 + 1 > 0; se cumple que:
x + 5 < 3x

2

y luego se usan la propiedad 4) dos veces y luego la propiedad 6), obteniéndose
7
2
Esta propiedadtambién es válida si se intercambia la relación < por
x>

:

8. Si ac < bc y c < 0, entonces a > b:
Esta propiedad se emplea cuando, por ejemplo, se trata de hallar x en la
inecuación:
(x + 5)( x2
Como -x2

1) < (3x

2)( x2

1)

1 < 0; se cumple que:
x + 5 > 3x

2

y luego se usan las propiedades 4) y 6) , obteniéndose

x<

4

7
2

9. Si 0 < a < b =) a2 < b2
Estaspropiedades también son válidas si se intercambia la relación < por
>,
ó
:
A continuación se resolverán ecuaciones e inecuaciones de distintos tipos
en una variable, empleando para ello estas propiedades de los números reales.

1.1.3.

Ecuaciones e Inecuaciones polinómicas

Son ecuaciones (en la variable x) de la forma:
an xn + an 1 xn

1

+ ::: + a1 x + a0 = 0

e inecuaciones(en lavariable x) tales como:
an x n + an 1 x n

1

+ ::: + a1 x + a0 < 0
> 0
0
0

Para resolverlas se deben aplicar propiedades como las siguientes:
ab = 0
ab < 0

!a=0ob=0

! [(a < 0 y b > 0) ó (a > 0 y b < 0)]

y las análogas para otas inecuaciones.
Para resolver estas ecuaciones e inecuaciones en pimer lugar, factorizamos
el polinomio dado si es que esto es posible.
En el caso delas ecuaciones, luego hallamos los números reales x que
anulan cada factor. La unión de todos estos números es el conjunto solución
de la ecuación.
En el caso de las inecuaciones, para cada factor, obtenemos los valores
de x que hacen que el factor sea positivo y los valores de x que lo hacen
negativo.
5

Ejemplo 1
Resolver la inecuación x2 + 2x
la multiplicación de números reales.:

3< 0; empleando las propiedades de

Solución
Una posibilidad es factorizar el polinomio x2 + 2x 3 = (x
y analizar casos para los signos que tomen los factores.

1)(x + 3),

Caso 1: Puede ocurrir que x 1 > 0 y x + 3 < 0.
Esto quiere decir que x > 1 y x < 3. Como no hay valores reales de
x que satisfagan estas dos condiciones simultáneamente, se dice que en este
caso no hay solución.Caso 2: Puede ocurrir que x 1 < 0 y x + 3 > 0.
Esto es x < 1 y x > 3. Los valores reales de x que satisfacen estas
condiciones son 3 < x < 1: Esto es, x 2 ] 3; 1[ :
La solución de la inecuación dada es la unión de las soluciones del caso 1
y del caso 2.
Por lo tanto, la solución …nal es x 2 ] 3; 1[ :
Método de los puntos de referencia
Luego de comprender el procedimiento seguido en el ejemplo,observamos
que si un polinomio dado se factoriza en más de dos factores, el análisis de los
casos posibles para el signo de cada factor sería muy tedioso. Por esa razón
se emplea una forma abreviada del método que consiste en:
i) ubicar en la recta real todos aquellos valores de x que anulan el polinomio dado (a estos puntos se les llama puntos de referencia)
ii) analizar el signo del...