libro

Capítulo *
Polinomios y Ecuaciones
*Þ"Þ Polinomios
Definición 1.

Sea : À ‚ Ä ‚ una función, se dice que :aBb es un polinomio en una variable, y
es de la forma
:aBb œ+!  +" B  +# B#  † † † †  +8 B8 œ !+3 B3
8

3œ!

donde 8 − ß +3 − ‚Þ
Los +3 se acostumbran a llamar coeficientes del polinomio, si +8 Á ! se dice que
el polinomioes de grado 8Þ
Nota. 1
Debemos agregar que no siempre la variable de un polinomio es un número
complejo, pueden ser también entre otras: una matriz, una funcion, . . . .etc. que
obviamente requieren de otra definición, pero que, no trataremos en este texto.

*Þ#Þ Igualdad
Sean :aBb œ ! +3 B3 con +8 Á ! • ; aBb œ ! ,3 B3 con ,8 Á !
8

83œ!

3œ!

:aBb œ ; aBb Í +3 œ ,3 ß a 3 œ !ß "ß #ß Þ Þ Þ Þ ß 8

Demostración.

:aBb  ; aBb œ ! Ð+3  ,3 Ñ B3 œ !ß aceptando la independencia lineal de
8

3œ!{"ß Bß B# ß Þ Þ Þ Þ ß B8 × que dice: -!  -" B  -# B#  † † † †  -8 B8 œ ! Í

-! œ -" œ † † † † œ -8 œ ! entonces se tiene +3  ,3 œ ! Í +3 œ ,3
La parte +3 œ ,3 Ê :aBb œ; aBb es inmediata.

*Þ$Þ Suma y Producto
Sean :aBb œ ! +3 B3 con +8 Á !
8

3œ!

• ; aBb œ ! ,3 B3 con ,7 Á ! supóngase que
7

3œ!

8   7ß entonces:

a:  ;baBb œ :aBb  ; aBb donde, gradoa:  ; b Ÿ 8 o bien grado 0.
a: † ; baBb œ :aBb † ; aBb dondeß grado a: † ; b œ 7  8

Propiedad 1.

Sean :aBb œ ! +3 B3 con +8 Á !
8

•; aBb œ ! ,3 B3 con ,7 Á ! tales que
7

:aBb † ; aBb œ !ß a B − ‚ß entonces :aBb œ ! ” ; aBb œ !
3œ!

3œ!

Demostración.

Si :aBb Á ! • ; aBb Á ! entonces tanto :aBbcomo ; aBb tienen grado, luego
también :aBb † ; aBb entonces a: † ; baBb no es el polinomio 0, lo que contradice
la hipótesis.

Propiedad 2.

Sean :aBbß ; aBb y