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MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES

MÉTODO DE JACOBI
Un método iterativo con el cual se resuelve el sistema lineal Ax = b comienza con una aproximación inicial x(0)a la solucion x y genera una sucesión de vectores x(k) que converge a x. Los métodos iterativos traen consigo un proceso que convierte el sistema Ax = b en otro equivalente de la forma x = Tx + c para alguna matriz fija T y un vectorc.
Luego de seleccionar el vector inicial x(0) la sucesión de los vectores de la solución aproximada se genera calculando:
x(k) = Tx(k-1) + c
para cada k = 1,2,3,....
El método se escribe en la forma x(k) = Tx(k-1) + c separando A en sus partes diagonal D y fuera de la diagonal. Sea D la matriz diagonal cuya diagonal es la misma que A, sea -L la parte estrictamente triangular inferior de laparte A y sea -U la parte estrictamente triangular superior de A.
Con esta notacion A = D-L-U, entonces transformamos la ecuación Ax = b, o (D-L-U)x = b, en
Dx = (L+U)x + b
y, si D-1 existe, es decir, si ai,i es distinto de cero para cada i, entonces
x = D-1(L+U)x + D-1b.
Esto da origen a la forma matricial del método iterativo de Jacobi:
x(k) = D-1(L+U)x(k-1) + D-1b, k = 1,2,...
Alintroducir la notación Tj = D-1(L+U) y cj, esta técnica tiene la forma
x(k) = Tx(k-1) + c
Un método iterativo con el cual se resuleve el sistema lineal Ax = b comienza con una aproximación inicial x(0)a la solucion x y genera una sucesión de vectores x(k) que converge a x. Los métodos iterativos traen consigo un proceso que convierte el sistema Ax = b en otro equivalente de la forma x = Tx + c paraalguna matriz fija T y un vector c.
Luego de seleccionar el vector inicial x(0) la sucesión de los vectores de la solución aproximada se genera calculando:
x(k) = Tx(k-1) + c
para cada k = 1,2,3,....
El método se escribe en la forma x(k) = Tx(k-1) + c separando A en sus partes diagonal D y fuera de la diagonal. Sea D la matriz diagonal cuya diagonal es la misma que A, sea -L la parte estrictamentetriangular inferior de la parte A y sea -U la parte estrictamente triangular superior de A.
Con esta notacion A = D-L-U, entonces transformamos la ecuación Ax = b, o (D-L-U)x = b, en
Dx = (L+U)x + b
y, si D-1 existe, es decir, si ai,i es distinto de cero para cada i, entonces
x = D-1(L+U)x + D-1b.
Esto da origen a la forma matricial del método iterativo de Jacobi:
x(k) = D-1(L+U)x(k-1) +D-1b, k = 1,2,...
Al introducir la notación Tj = D-1(L+U) y cj, esta técnica tiene la forma
x(k) = Tx(k-1) + c
MÉTODO DE GAUSS-JORDÁN
Como hemos visto, el método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior. El método de Gauss-Jordan continúa el proceso de transformación hasta obtener una matriz diagonal unitaria (aij=0 para cualquier ).
Veamos el método deGauss-Jordan siguiendo con el ejemplo empleado en el apartado anterior. Aplicando el método de Gauss habíamos llegado a la siguiente ecuación:

Ahora seguiremos un procedimiento similar al empleado en el método de Gauss. Tomaremos como pivote el elemento a44=-3; multiplicamos la cuarta ecuación por y la restamos a la primera:

Realizamos la misma operación con la segunda y tercera fila,obteniendo:

Ahora tomamos como pivote el elemento a33=2, multiplicamos la tercera ecuación por y la restamos a la primera:

Repetimos la operación con la segunda fila:

Finalmente, tomamos como pivote a22=-4, multiplicamos la segunda ecuación por y la sumamos a la primera:

El sistema de ecuaciones anterior es, como hemos visto, fácil de resolver. Empleando la ecuación obtenemos lassoluciones:

Con este método la solución se obtiene directamente sin la necesidad de la sustitución
inversa que utiliza el método de Gauss.
Con este procedimiento de normalización y eliminación se puede obtener, además la matriz inversa de la matriz de coeficientes, A-1. Si a la matriz aumentada se le adhiere o aumenta la matriz unidad o identidad y se le aplica el método de Gauss-Jordan.
METODO...