limite de una función ejemplo y propiedades

EJEMPLO:
Ejemplo: Sea la función

Haciendo una pequeña tabla para graficar
X
Y
-2
3
-1
-3
0
5
1
-3
2
3

ahora hallemos el límite de esta función cuando x tiende a 2, será:

Esfácil ver en la grafica que tiende a -4, y si se remplaza x=1 en la función da –4, entonces:

Este acercamiento se entiende como el valor más próximo y debemos hacer claridad que si bién en ocasionesresulta ser el valor de la función en el punto escogido no siempre pasa esto.
Ejemplo: Hallar

Realizando una tabla y graficando queda:
X
Y
-2
-0,33333
-1
-0,5
0
-1
1
e
2
1

Se observaen la gráfica que en x=1 no hay función por eso dibujamos la asintota como línea punteada. Si tratamos de encontrar un valor para x=1 nos encontraremos con una división por cero, y esto no esposible. Entonces veamos que en –1 se acerca al infinito por la derecha y al menos infinito por la izquierda. Entonces no hay límite por ser los dos valores diferentes.
Noción de límite de una función
Sedice que una función f (x) tiene límite L en el punto x = a, si es posible aproximar f (x) a L tanto como se quiera cuando x se acerca indefinidamente a a, siendo distinto de a. En términosmatemáticos, se expresa como:

Dado el punto a, y según la anterior definición, existen dos formas de aproximar x a a: desde valores x > a (por la derecha) y desde valores x < a (por la izquierda). En cada casose obtienen valores denominados límite por la derecha (xa+) y límite por la izquierda (xa-). Por definición, para que exista el límite de una función ha de cumplirse que existan los dos límiteslaterales(por la derecha y por la izquierda) y que ambos sean iguales. Ello se expresa como:

Propiedades de los límites
Dadas dos funciones f(x) y g(x) que tienen límite en un punto a, se cumplen lassiguientes propiedades:
El límite de la suma de ambas funciones es igual a la suma de los límites.
El límite de la diferencia se calcula como la diferencia de los límites.
El límite del...