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MATEMATICAS PARA ECONOMIA

por FRANCISCO RIVERO MENDOZA PHD.

Departamento de Matem´ticas a Facultad de Ciencias Universidad de los Andes M´rida - Venezuela e Octubre de 2000.

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´ Indice general

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´ INDICE GENERAL

MATEMATICAS PARA ECONOMIA

por FRANCISCO RIVERO MENDOZA PHD.

Departamento de Matem´ticas a Facultad de Ciencias Universidad de los Andes M´rida -Venezuela e Octubre de 2000.

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´ INDICE GENERAL

Cap´ ıtulo 1

N´ meros Complejos u
En este cap´ ıtulo estudiaremos el Sistema de los N´meros Complejos, el cual u ser´ de gran utilidad para el posterior tratamiento de los polinomiios y la resoluci´n a o de ecuaciones. Un N´ mero Complejo es una expresi´n del tipo u o z = a + bi donde a y b son n´meros reales e i es un s´ u ımbolo, cuyosignificado ser´ aclarado m´s a a adelante. Este tipo de n´meros, algo misteriosos, por el momento, aparecen dentro de los u problemas de resoluci´n de las ecuaciones cuadr´ticas con una inc´gnita. Por ejemplo o a o la ecuaci´n o x2 + x + 1 = 0 no tiene raices reales. Al tratar de aplicar la f´rmula que da la soluci´n de una o o ecuaci´n de segundo grado, nos encontramos con la expresi´n o o √ −1 ± −3x= 2 la cual no tiene sentido en los n´meros reales. No se puede tener una ra´ cuadrada de u ız un n´mero negativo. Sin embargo, si usamos propiedades de los radicales se obtiene u √ √ √ −3 = 3 · −1 luego la soluci´n de este problema es un n´mero algo misterioso de la forma o u √ 1 3√ x− ± −1 2 2 3

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CAP´ ITULO 1.

´ NUMEROS COMPLEJOS

Imaginemos la sorpresa de los primeros algebristasal encontrarse con este tipo de situaciones imposibles de interpretar dentro de la matem´tica de la ´poca. ¿ Que a e significado se le pod´ dar a una ra´ cuadrada de un n´mero negativo? ¿ Porque no ıa ız u dejar de lado esta dificultad y aceptar que este tipo de ecuaci´n no tiene soluci´n? o o La necesidad de resolver todas las ecuaciones cuad´ticas, incluyendo estas cuyas a soluciones nos dan estetipo extra˜o de n´meros, motiv´ la creaci´n de un sistema n u o o num´rico ampliado, con propiedades similares a las de los n´meros reales. Dentro e u √ de este contexto se acepta el s´ ımbolo −1 como una entidad matem´tica nueva. a Veamos a continuaci´n como se construyen estos nuevos n´meros. o u Comenzaremos por introducir un nuevo n´mero o s´ u ımbolo, denotado por i, el cual ser´ llamado launidad imaginaria y que cumple con la condici´n a o i2 = −1 o bien i= √ −1

Una vez hecho esto construimos un conjunto C llamado N´ meros Complejos u cuyos elementos son combinaciones de la forma z = a + bi o bien √ z = a + b −1

donde a y b son n´meros reales. u Vemos entonces que todo n´mero complejo consta de dos partes, o componentes, u llamadas real e imaginaria, dadas por a y brespectivamente. As´ pues tenemos ı Re(z) = a e Im(Z) = b. Ejemplo El siguiente es un n´mero complejo u √ √ z = 2 + 3i. √ √ Su parte real es 2 y su parte imaginaria es 3. Ejemplo. El siguiente es un n´mero complejo u z=8 Cuando no hay parte imaginaria, como en este caso, se dice que el complejo es real. Entonces los N´meros Reales forman parte del conjunto de los N´meros Complejos. u u Ejemplo. El siguientees un n´mero complejo u z = 12i

´ 1.1. SUMA DE NUMEROS COMPLEJOS

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Cuando un n´mero complejo no tiene parte real, como en el presente caso, se dice u que es un imaginario puro. ¿ Cuando dos n´meros complejos son iguales? u Dos n´meros complejos z1 = a + bi y z2 = c + di son iguales s´ y s´lo si a = c y u ı o b = d. En otras palabras, dos n´meros complejos son iguales cuando suscomponentes u respectivas, real e imaginaria, son iguales.

1.1.

Suma de n´ meros Complejos u

Ahora nos dedicaremos al estudio de las propiedades de los n´meros complejos u relacionadas con la suma de ellos. La operaci´n suma de n´ meros complejos esta basada en la suma de n´meros o u u reales. Cada complejo tiene una parte real y una parte imaginaria. Para sumar complejos hay que sumar las...