limiteas

IUEAN – MATEMATICA II

GUIA 2 – LIMITES Y CONTINUIDAD

A – LIMITES
1.

Calcular los siguientes límites
4

1 ) limx→0  xx−2
3  
2

x −4
4) limx→2 x2+3x+2
  

7) limx→0 √1−x−x √1+x    
−1
10 ) limx→0 √1+x
  
√4+x−2

2) limx→3 x+1
x−2   
2

−2x−3
5) limx→3  x4x−12
  
−2
8) limx→2 √x+2
x−2    
√2−x−1
11) limx→1 2−√x+3
  
2

+1
3) limx→3 xx+3
  
2

f6) limx→0  xx2−5x+6
−x−2    
−3
9) limx→9 x√2x−81
 −2
12) limx→3  √x+3
x2−1    
2

+2x
13 ) limx→0  x|x|+3x
  
2

x −4
16) limx→∞ x2+3x+2
  
2

−9|
14) limx→3 |xx−3
  
4

17 ) limx→∞  xx−2
3  
15) limx→0 |x|x  
2

2

−1
18) limx→∞ xx−2
  − xx2+x−2
−2x  
x+1

19) limx→∞  66x−5+3  

22) limx→+∞ ln (1x )    
5−√x
20) limx→∞ 1+4
 
√x
9x +6
23 ) limx→+∞  √5x−1
 
2

21) limx→∞ √(x − 10)(x + 4) − x   
−1|
24) limx→±∞  |55xx−1
  
1

25) limt→0 (1 + 3t) t  1

z−2
28) limx→2+ ( 3x+2
5x−2 )  

26) limx→∞ (1 + ax )x 
2x2+1

x−3
29 ) limx→+∞ ( 3x+1
 
3x+4 )

2x+3

27) limx→∞ (x+5
x+2)

 

2x3+1
x2−3

30 ) limx→+∞ (1 + 5x )

 
1

2° cuatrimestre 2015

IUEAN – MATEMATICA II
2.

GUIA 2 – LIMITES Y CONTINUIDAD

2° cuatrimestre 2015

Calcular, si existe, limx→0 H(x) 
Donde H(x) es la ​
función escalón o función de Heaviside​
, definida como

∀x∈R : u(x) = H(x) = {0 si x < 0 1 si x≥0  

3.

Hallar a∈R ​
para que se cumpla que:
​
−1
limx→0 √x +ax+1
 =2
x
2

4.

Comprobar las siguientes identidades. En todos los casos x0∈R , es un número real fijo

a) limh→0 
5.

(x0+h)2−x0
h

= 2x0                                     b)limh→0  √

x0+h−√x0
 
h

= 2√1x0 ,  para x0 > 0  

Sea f : R→R , una función, tal que

x2 − 34 x4≤f(x)≤x2,  ∀x∈R
Calcular limx→0  fx(x)2  
6.

Calcular

a)limx→0 x2sen(1x ) 

b)limx→−∞ cos x 
x  

xsenx
c) limx→0  1−cosx
 

d)limx→0  3x+4sen2x
x2+5senx  

e)limx→1 sen (πx) 
x−1  

f ) limx→∞ xcosx 

g)limx→0 sen x
x

h)limx→0  3x+4sen(2x)
x2+5senx  

senx+sen x
i) limx→0  2x+xxsen
 
2(4x)

+ xsen(1x ) 

2

2

B – ASINTOTAS
1.
2.

Resolver la sección​
E – FUNCIONES RACIONALES u HOMOGRAFICAS​
de la Guía
Obtener las asíntotas delas siguientes funciones
1
a) f(x) = |x−1|

c) f(x) = ln⁡
(x2 − 4)

b) f(x) = ln⁡
(1 − x)

C – CONTINUIDAD
Una función f(x) es continua en el punto de abcisa x=a si se cumple simultáneamente que

a) ∃f(a)           b) ∃ y es finito limx→a f(x) = L           c) L = f (a)   
Las tres condiciones mencionadas se pueden expresar diciendo que
f (x)es continua en x = a ⟺limx→a f(x) = f (a) < ∞ 
1.Determinar los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones
a) f(x) = {x − 1,   x≥1 2,   x < 1 
b) f(x) = {ex,   x < 0 2x + 3,   x≥0
3
d) f(x) = { √2x−2
−2x+4 ,   x > 2  8x − 1,   x≤2 

2.

e) f(x) =

√

1
x

−1 

c) f(x) = {x2,   x < 2 6,   x = 2 x + 2,   x > 2 
−3
f ) f(x) = { √x+2
x−7 ,   x≥ − 2,  x≠7 0,   en otro caso 

Determinar el valor de la constante a∈R ​
para los cuales las funcionesresultan continuas
​
1

x−1

a) f(x) = {x2 + ax,   x≤2 a − x2,   x > 2 

b) f(x) = {e x ,   x≠0 a,   x = 0 

d) f(x) = {|3 − x|,   x < a 4x + 1,   x≥a 

−1
e) f(x) = {xsen( 1x ),   x≠0 a,   x = 0 f ) f(x) = { √xx−1
,   x > 1 ax + 3,   x≤1 

c) f(x) = {e x+1,   x >− 1 3x + a,   x≤ − 1 

D – TEOREMA DE LOS VALORES INTERMEDIOS

Teorema de Bolzano
Si

f(x) es una función continua en [a, b], tal quef(a).f(b) < 0, es
decir con distinto signo en los extremos del intervalo,
entonces existe por lo menos un punto c ∈ (a, b) tal que
f(c)=0.
2

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GUIA 2 – LIMITES Y CONTINUIDAD

2° cuatrimestre 2015

Consecuencias:
1. Si f es una función continua en el intervalo [a, b] y no tiene ningún cero en el intervalo (a, b), entonces f no
cambia de signo en dicho intervalo.
2.​
Si f esuna función continua en el intervalo [a, b] y
α​
​
y​
β​
(con a < ​
α​
<​
β​
< b) son dos ceros consecutivos de f, entonces el intervalo (​
α​
,​
β​
) es:
­
­

Un intervalo de positividad de f o bien,
Un intervalo de negatividad de f

Teorema de los valores intermedios o de Darboux
Si

una función es continua en el intervalo [a, b] y k es un número
comprendido entre los valores f(a) y f(b),...