Limites geometricos

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LÍMITES GEOMÉTRICOS

Pedro Buera Pérez
I.E.S. “Félix de Azara”
Zaragoza

Normalmente, en los programas y libros deBachillerato, se introduce el concepto de límite funcional y, a continuación, se explica la técnica para hallar límites de diferentes funciones. Más adelante se aplica este concepto para saber siuna función es continua en un punto, para hallar la derivada y, finalmente, para definir el concepto de integral definida. En resumidas cuentas, la idea de límite funcional es el pilar básico donde sesustenta todo el Análisis Matemático.

En esta sesión trabajaremos con límites pero en un campo no muy habitual en los libros de texto y en las clases de Matemáticas; me refiero a la utilización delos límites funcionales en la resolución de algunos problemas de Geometría.

Antes de pasar a la resolución de dichos problemas, y como recordatorio, definiremos algunos conceptos que seránnecesarios posteriormente.

Definición: Decimos que [pic] es un infinitésimo cuando [pic] si [pic].
Así, por ejemplo, [pic] es infinitésimo cuando [pic], [pic] es infinitésimo cuando [pic], [pic] esinfinitésimo cuando [pic], etc…

Definición: Dados dos infinitésimos [pic] cuando [pic] se dicen infinitésimos equivalentes si [pic]. En ese caso lo expresamos del siguiente modo:[pic]

Así, por ejemplo, [pic] pues [pic]
(Nota: Este último límite se calcula fácilmente aplicando la regla de L´Hôpital:
[pic] )

Proposición: Si dos infinitésimos son equivalentesy uno de ellos aparece en un límite como factor o divisor, puede sustituirse por el otro.

La demostración de esta proposición es muy sencilla. Supongamos que:
[pic], lo queimplica [pic]
y que [pic] aparece en un límite como factor; por ejemplo:
[pic]

La sustitución de un infinitésimo por otro equivalente no elimina directamente las indeterminaciones, pero, si el...
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