Limites Infinitos Y Limites Al Infinito

Límites infinitos y límites al infinito
El símbolo se lee infinito, es de carácter posicional, no representa ningún número
real.
Si una variable independiente está creciendo indefinidamente a través de valores
positivos, se escribe

(que se lee:

de valores negativos, se denota como
Similarmente, cuando

tiende a más infinito), y si decrece a través
(que se lee:

tiende a menosinfinito).

crece indefinidamente y toma valores positivos cada vez

mayores, se escribe

, y si decrece tomando valores negativos escribimos

.
Consideramos la función

definida por

para

determinar el comportamiento de la función cuando

. Vamos a
cuando

y cuando

. Para ello nos ayudamos de las tablas siguientes:

a.

En este caso, cuando
, la función
tiende a tomarvalores positivos cada vez mayores. Esto podemos escribirlo como
, es decir

b.

Ahora, cuando

toma valores cercanos a 2 pero menores que 2, la función

tiende a valores negativos cada vez menores. Es decir,
, o sea

.

cuando

c.

Ahora observe que es

la que tiende a tomar valores positivos cada vez

mayores, obteniendo como resultado que
Así

, o sea,

tiende avalores cercanos a cero.

cuando

.

d.

En forma similar a la tabla anterior se tiene que

cuando

es

decir,
Podemos representar gráficamente el comportamiento de la función
forma siguiente.

Consideramos ahora la función definida por
representación gráfica es la siguiente:

para

en la

, cuya

Podemos decir que:
a.

y

b.

y

Ejercicio
Determine:

,

,utilizando para ello la función

,

,

,

,

.

Daremos ahora algunas definiciones sobre límites infinitos, y límites al infinito.

Definición

Se dice que

crece sin límite cuando
, si para todo número real

existe

tal que

Gráficamente se tiene:

siempre que

tiende a

, que se denota

, (sin importar su magnitud),
.

Esta definición nos dice que es posiblehacer
tan grande como se quiera, (es decir,
mayor que cualquier número positivo ), tomando suficientemente cerca de .
Ejemplo
Consideremos la representación gráfica de la función

definida por:

Demostremos ahora que
Para hacer la prueba, debe establecerse que dado un

existe

.

Observe que:

.

tal que

Luego, dado

, escogemos

de tal forma que se satisfaga que

.Si tomamos, por ejemplo,
cuando

cuando

, es decir,

.

Definición

Se dice que

decrece sin límite cuando
, si para todo número real

tiende a

, que se denota por

, existe una

tal que

Gráficamente se tiene que:

La definición anterior afirma que es posible hacer
menor que cualquier número
negativo , tomando suficientemente cerca de .
Ejemplo
Consideremos larepresentación gráfica de la función

definida por

Demostremos ahora que
Para hacer la prueba debe establecerse que dado un

, existe

siempre que
Observe que

(el sentido de la desigualdad cambia pues

).
Además
Note que

.
sí tiene sentido pues

Luego,

si y solo si

Así, dada

, existe

por lo tanto tomamos

,

tal que

Si por ejemplo, tomamos
que

entonces.

siempre que

o sea

, por lo

siempre que

Definición

Se dice que
escribe

tiende a

cuando

tiende a por la derecha, y se

, si se cumple que a cada número positivo

, (tan

grande como se quiera), corresponde otro número positivo
de

) tal que

.

Similarmente, se dice que
escribe

tiende a

si

mayor que cero pues

, (que depende

cuandotiende a

siempre que
ya que

por la izquierda y se

(Observe que

es

).

-El comportamiento de la función
por la definición anterior.

definida por

cuando

, está regido

Recuerde la representación gráfica de esta función hecha anteriormente.
-Los símbolos
en vez de

y

se definen análogamente, escribiendo

. (note que si

entonces

)

Gráficamente se tiene:...