Limites y continuidad

5
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LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

REFLEXIONA Y RESUELVE Visión gráfica de los límites
■

Describe análogamente las siguientes ramas: a) lím
x 8 +@

f (x) = 3

b)

lím
x 8 +@

f (x) no existe

c) lím
x 8 +@

f (x) = 3

d) lím
x 8 +@

f (x) = +@

e) lím
x 8 +@

f (x) = –@

Unidad 5. Límites de funciones. Continuidad

1

f) lím
x 8 –@

f (x)= +@

g) lím
x 8 –@

f (x) = 2

h)

1

1

x 8 –1–

lím

f (x) = +@

2

x 8 –1+

lím

f (x) = –@

2

i)

1

1

x 8 4–

lím f (x) = 5

2

2

x 8 4+

lím f (x) = 2

j)
x82

lím f (x) = –2

2

Unidad 5. Límites de funciones. Continuidad

UNIDAD

5

Página 129
1. Si u (x) 8 2 y v (x) 8 –3 cuando x 8 +@, calcula el límite cuando x 8 +@ de: a)u (x) + v (x) c) 5u (x) b) v (x)/u (x) d) √v (x) f ) √u (x) v (x) –3 b) x lím u(x) = 2 8 +@ d) x lím √v (x) 8 +@
3 3

e) u (x) · v (x) a) x lím [u(x) + v (x)] = 2 + (–3) = –1 8 +@
u(x) = 5 2 = 25 c) x lím 5 8 +@

no existe
3

e) x lím [u (x) · v (x)] = 2 · (–3) = –6 8 +@

f) x lím √u (x) = √2 8 +@

2. Si u (x) 8 –1 y v (x) 8 0 cuando x 8 +@, calcula el límite cuando x 8 +@ de: a) u(x) – v (x) c) v (x)/u (x) e) u (x) · v (x) a) lím [u (x) – v (x)] = –1 – 0 = –1
x 8 +@

b) v (x) – u (x) d) log2 v (x) f ) √u (x) b) lím [v (x) – u (x)] = 0 – (–1) = 1
x 8 +@
3

c) lím

x 8 +@

v (x) 0 = =0 u(x) –1

° – @ si v (x) 8 0+ d) lím log2 v (x) = ¢ x 8 +@ £ no existe si v (x) 8 0– e) lím [u (x) · v (x)] = –1 · 0 = 0
x 8 +@

f)

lím
x 8 +@

3

√u (x) = √–1 = –1

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3. Indica cuáles de las siguientes expresiones son infinitos (±@) cuando x 8 +@: a) 3x 5 – √x + 1 d) log2 x g) 4x
x 8 +@

b) 0,5x e) 1/(x 3 + 1) h)4–x

c) –1,5x f ) √x i) – 4x

a) lím (3x 5 – √x + 1) = +@ 8 Sí

Unidad 5. Límites de funciones. Continuidad

3

b) lím 0,5x = 0 8 No
x 8 +@

c) lím (–1,5 x ) = – @ 8 Sí
x 8 +@

d) lím log2 x = +@ 8 Sí
x 8 +@

e) límx 8 +@

1 = 0 8 No x3 + 1

f) lím √x = +@ 8 Sí
x 8 +@

g) lím 4 x = +@ 8 Sí
x 8 +@

h) lím 4 –x = 0 8 No
x 8 +@

i)

x 8 +@

lím –4x = – @ 8 Sí

4. a) Ordena de menor a mayor los órdenes de los siguientes infinitos: log2 x √x x2 3x 5 1,5x 4x

b) Teniendo en cuenta el resultado anterior, calcula: log2 x 3x 5 √x lím lím lím x 2 x 8 +@ √ x x 8 +@ x x 8 +@ 1,5 a) log2 x b) lím√x log2 x x 2 3x 5 1,5x 4 x =0

x 8 +@

√x

lím
x 8 +@

3x 5 = +@ x2

lím
x 8 +@

√x =0 1,5 x

Página 131
5. Si, cuando x 8 +@, f (x) 8 +@, g (x) 8 4, h (x) 8 –@, u (x) 8 0, asigna, siempre que puedas, límite cuando x 8 +@ a las expresiones siguientes: a) f (x) – h (x) d) f (x) x g) f (x)/h (x) j) u (x)/h (x) m) g (x)/u (x) o) x + h (x) a) b) lím
x 8 +@

b) f (x) f (x) e) f(x) · h (x) h)[–h (x)]h (x) k) f (x)/u (x) n)x + f (x) p) h (x) h (x)

c) f (x) + h (x) f ) u (x)u (x) i) g (x) h (x) l) h (x)/u (x) ñ) f (x) h (x) q) x –x

( f (x) – h (x)) = +@ – (– @) = +@ + @ = +@

x 8 +@

lím f (x) f (x) = (+@) +@ = +@

4

Unidad 5. Límites de funciones. Continuidad

UNIDAD

5

c) d) e) f) g) h) i) j) k) l)

lím
x 8 +@

( f (x) + h (x)) = (+@) + (– @)8 Indeterminado

x 8 +@

lím f (x) x = +@+@ = +@ lím

x 8 +@

( f (x) · h (x)) = (+@) · (– @) = – @

x 8 +@

lím u (x) u(x) = (0)(0) 8 Indeterminado lím f (x) = (+@) h (x) (– @) 8 Indeterminado

x 8 +@

x 8 +@

lím [–h (x)] h (x) = [+@] – @ = 0 lím g (x) h (x) = 4 – @ = 0 lím u (x) = 0 =0 –@

x 8 +@

x 8 +@ h (x)

x 8 +@ u (x)

lím f (x) = +@ = ±@ (0)

lím h (x) = – @= ±@ (0) x 8 +@ u (x)

g (x) 4 m) lím = = ±@ (0) x 8 +@ u (x) n) ñ) o) p) q) lím
x 8 +@

(x + f (x)) = +@ + (+@) = +@

x 8 +@

lím f (x) h(x) = (+@) – @ = 0 lím

x 8 +@

(x + h (x)) = (+@) + (– @)

8 Indeterminado

x 8 +@ x 8 +@

lím h (x) h (x) = (– @) – @ 8 No existe lím x –x = (+@) – @ = 0

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6. Las funciones f, g, h y u son las del ejercicio propuesto 5 (página...