limites

LÍMITES
1. Introducción
Tal vez has estado en un estacionamiento en el que debes “aproximarte” al auto de
enfrente, pero no quieres golpearlo ni tocarlo. Esta noción de estar cada vez más cerca de
algo, pero sin tocarlo, es muy importante en Matemática y está involucrada en el concepto
de límite. Básicamente, haremos que una variable “se aproxime” a un valor particular y
examinaremos elefecto que tiene sobre los valores de la función.
1.1. Noción de límite
Sean las funciones y = f(x) = x2 – x + 2 y y = g(x) =

x2  4
. Si para cada una de
x2

ellas elaboramos una tabla y las graficamos:

x



1
1,5
1,8
1,9
1,99
1,999
2,001
2,01
2,1
2,2
2,5
3
x



1
1,5
1,8
1,9
1,99
1,999
2,001
2,01
2,1
2,2
2,5
3

y = x2 – x + 2
2
2,75
3,44
3,713,97
3,997

4,003
4,03
4,31
4,64
5,75
8

x2  4
y=
x2
3
3,5
3,8
3,9
3,99
3,999
4,001
4,01
4,1
4,2
4,5
5

y

f(x)

x

y
y

f(x)
g(x)



x

observamos que cuando x se acerca a 2 (por valores menores que 2 -izquierda- o por
valores mayores que 2 –derecha-), f(x) (o g(x)) se aproxima a 4.
De hecho, podemos acercar los valores de f(x) (o g(x)) a 4 tanto comoqueramos
haciendo que x se aproxime lo suficiente a 2.
Expresamos lo anterior diciendo que:
“el límite de la función f(x) = x2 – x + 2, cuando x tiende a 2 es igual a 4”.
La notación correspondiente es: lím (x 2  x  2)  4 (o f  4 cuando x  2).
x 2

Del mismo modo, decimos que “el límite de la función g(x) =

x2  4
, cuando x
x2

 x2  4 
  4 (o g  4 cuando
tiende a 2es igual a 4”. La notación correspondiente es: lím 
x 2  x  2 


x  2).
1.2. Definición intuitiva de límite
En general “Se escribe lím f ( x )  L , y se dice “el límite de f(x) es igual a L cuando
x a

x tiende a a”, si podemos acercar arbitrariamente los valores de f(x) a L (tanto como
queramos) tomando a x suficientemente cercano, pero distinto, de un número a, tanto por ellado izquierdo (por valores menores que a) como por el derecho (por valores mayores) de
a”.
En un sentido muy amplio, esto significa que los valores de f(x) se acercan más y
más al número L a medida que x se aproxima al número a (de ambos lados de a), pero x 
a, nunca consideramos x = a. Efectivamente, f(x) ni siquiera necesita estar definida (tener
un valor determinado y real) cuando x = a.Lo único que interesa es cómo se defina cerca
de a.
Ejemplos:
(a)

(b)

f(a) = L

(c)
L

L
f(a)

a

x

a

x

a

x

En los tres casos anteriores: lím f ( x )  L (aunque en (c): f(a) no está definida, y en
x a

(b): f(a) está definida pero es  L), independientemente de lo que sucede en a.
Aclaración: Las tablas de valores no siempre ayudan a decidir cuál es ellímite de
una función. Por ejemplo, la función y = f(x) = sen (1/x) no se aproxima a ningún número

cerca de cero; para esta función es falso que f tiende hacia cero cerca de cero. Así es que el
límite de esta función cuando x tiende a cero no existe (oscila alternadamente entre valores
positivos y negativos, comprendidos entre 1 y -1).

1.3. Definición precisa (formal) de límite
“Sea f unafunción definida en
un intervalo abierto que contiene al
número a, excepto quizás en a mismo.
Se dice que “el límite de f(x) es L,
cuando x tiende a a y se escribe:
lím f ( x )  L



LL



L+

x a

si para cada número  >0 hay un
número correspondiente  >0 tal que
f ( x )  L <  siempre que 0< x  a <

 ”.

a-

aa+

Esto quiere decir que la distancia entre f(x) y Lse puede reducir arbitrariamente si
se disminuye lo suficiente la distancia de x a a (sin igualarla a 0).
Esta situación debe funcionar para todo número positivo  , sin importar lo pequeño
que se escoja. Si se elige un  más pequeño, se necesitará un  menor.
Ejemplo: Utilicemos la definición para demostrar que
Como la función está definida en todo intervalo abierto que contiene a 2,...