Limites

Páginas: 27 (6522 palabras) Publicado: 26 de marzo de 2012
Límite finito

Definición
Intervalo cerrado
Un segmento en el eje numérico con extremos a y b, con a < b, se denomina intervalo. Si los puntos extremos, a y b, están incluidos en el intervalo, se dice que el intervalo es cerrado, y se denota por [a,b].
[a,b] = { x perteneciente a R / a 0 / para todo x, 0 < |x-a| < δ |f(x) - b| < ε.
Otra notación:
limx->a f(x)=b para todo Eb,ε existe unE*a,δ / para todo x perteneciente al E*a,δ f(x) pertenece a Eb,ε.
Se dice que la función f(x) tiene límite b, cuando x tiende a a, si dado ε positivo arbitrario y tan pequeño como se quiera, existe un δ tal que para todo x perteneciente al entorno reducido de a de radio δ, la función pertenece al entorno de b de radio ε.
Dicho de otro modo, para cualquier número positivo ε, por pequeño que sea,podemos encontrar un δ tal que para todos los x dentro del entorno reducido de a de radio δ se cumple que f(x) está dentro del entorno de b de radio ε.
[pic]
limx->af(x)=b significa que por más pequeño que sea el entorno considerado alrededor de b, va a ser posible encontrar un entorno de a, para cuyos valores x (x ≠ a), la función f da como resultado valores que están dentro del entorno de bconsiderado.
En otras palabras, la función f(x) tiene límite b, cuando x tiende a a, si el valor de la función f(x) se hace arbitrariamente próximo al valor b cuando x se aproxima al valor a.
Notar que la definición dice entorno reducido de a. Es decir que f(a) puede no existir, o puede estar fuera del entorno de b, pero el límite de f cuando x tiende a a sigue siendo b.
|[pic]|f(a) ≠ b, pero limx->af(x)=b |

Teoremas sobre límites


Teorema
Unicidad del límite de una función
Si una función tiene límite es único.

H) Existe limx->af(x)=b
T) b es único
Demostración
La demostración se hace por reducción al absurdo.
Suponemos que f(x) tiene dos límites distintos b y c, cuando x tiende a a.
Suponemos que b > c.
limx->af(x)=b =>(por def. de límite) para todo Eb,ε existe un E*a,δ1 / para todo x perteneciente al E*a,δ1 f(x) pertenece al Eb,ε.
limx->af(x)=c => (por def. de límite) para todo Ec,ε existe un E*a,δ2 / para todo x perteneciente al E*a,δ2 f(x) pertenece al Ec,ε.
Consideremos un ε tal que Eb,ε ∩ Ec,ε = Ø.
[pic]
Queremos que c+ε < b-ε => ε < (b - c)/2
Sea δ = min {δ1,δ2}
Para todo x perteneciente al E*a,δ secumple

• f(x) pertenece a Eb,ε


• f(x) pertenece a Ec,ε

Absurdo, pues f(x) no puede pertenecer a dos entornos disjuntos.
Absurdo de suponer b ≠ c.
Por lo tanto b = c.

Definición
Límites laterales
Límite de f(x) en el punto a por la derecha :
limx->a+f(x)=b para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente a (a,a + δ) |f(x) - b| < ε.
Límite de f(x) en el punto a porla izquierda :
limx->a-f(x)=b para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente a (a - δ,a) |f(x) - b| < ε.
Nota: x->a+ indica que x tiende a a por la derecha, es decir que x pertenece al entorno (a,a + δ).
x->a- indica que x tiende a a por la izquierda, es decir que x pertenece al entorno (a - δ,a).
A veces las funciones son discontinuas o no están definidas en un punto a, pero soncontinuas a uno y otro lado. En estos casos, el límite por la izquierda puede ser distinto del límite por la derecha.

Ejemplo
f(x) = x2 si x 2
| |   |limx->2-f(x)=4 |
| | |limx->2+f(x)=-3 |
| ||No existe limx->2f(x) |


Teorema
Existe el límite finito de una función los límites laterales son iguales.

H) limx->af(x)=b
T) limx->a+f(x) = limx->a-f(x) = b
Demostración:
Directo:
limx->af(x)=b => (por def. de límite) para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ f(x) pertenece al Eb,ε.
=> para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente a (a...
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