Limites
UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER SEDE BARBOSA Cálculo I
Profesora: Deicy Villalba Rey LÍMITES Y CONTINUIDAD
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
El límite de una función f en un punto x0 examina el comportamiento de los valores de la función,
f (x ) , cuando los valores x se aproximan al punto x0 . Para tener una idea de la complejidad del problema pongamos el siguiente ejemplo:
3 Sea f ( x ) =x − 1 . Se quiere saber el comportamiento de la función cuando x se acerca a 1. Observe
x −1
que la función no está definida en 1. Sin embargo podemos tomar valores arbitrariamente cercanos a 1. La siguiente tabla nos hace intuir el resultado del proceso límite.
x tendiendo a 1 por la izquierda
→
x
f (x)
1 No está 2.710 2.970 2.997 2.9997 3.0003 3.003 definida f (x ) tiende a 30.9
0.99
0.999 0.9999
← x tendiendo a 1 por la derecha 1.0001 1.001 1.01 1.1
3.03 3.31
Vemos que los valores de conforme x se acerca a 1.
la función se acercan a 3
Esto se escribe como: lím f ( x) = 3
x →1
La siguiente es una definición informal de límite de f ( x ) :
Definición intuitiva: Una función f tiene límite un número real L en c si f (x ) se acerca cada vez másal número L cuando x se aproxima más y más al número c, sin llegar a valer c, en cualquier sentido.
La notación usada es lím f ( x ) = L y se lee como: el límite de f ( x ) cuando x tiende a c vale L.
x→c
En ocasiones se escribe f ( x) → L cuando x → a y se suele leer como: f ( x) tiende a L cuando x tiende a c. Comentario: Es importante que la función esté definida cerca de c. No hacefalta que esté o no definida en c, pues el valor de la función en c no importa para decir cuanto vale el límite. Lo importante son los valores de
3 la función evaluados en puntos cercanos a c. Observe como la función f ( x) = x − 1 no está definida en 1
x −1
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PROPIEDADES DE LOS LÍMITES
En esta sección estableceremos las propiedades de los límites. Ellas permitirán calcular y establecerlímites sin usar la definición formal. Las dos primeras propiedades resultan evidentes. Suponga k una constante, entonces 1.- lím k = k
x →a x→a
Propiedad de la función constante Propiedad de la identidad
2.- lím x = a .
El siguiente Teorema agrega más propiedades de los límites, estas propiedades permitirán calcular algunos límites a partir del límite de otras funciones.
Teorema1.-Suponga f (x ) y g (x ) dos funciones tales que lím f ( x ) y lím g ( x) existen. Entonces: 3.-Si k es una constante tenemos que lím (kf ( x) ) = k lím f ( x) .
x→ a x→ a x→ a x→ a
Propiedad del factor constante Propiedad de la suma Propiedad de la diferencia Propiedad del producto.
4.- lím ( f ( x) + g ( x)) = lím f ( x ) + lím g ( x ) .
x →a x→ a x→ a
5.- lím ( f ( x) − g ( x)) = lím f (x) − lím g ( x )
x →a x →a x→ a
6.- lím ( f ( x ) ⋅ g ( x )) = lím f ( x ) ⋅ lím g ( x ) .
x →a x→ a x→ a
7.- lím (
x→ a
f ( x) lím f ( x ) , si lím g ( x) ≠ 0 . ) = x→a x →a lím g ( x) g ( x)
x →a
Propiedad del cociente
8.-Para n entero positivo tenemos lím ( f ( x)) n = lím f ( x) x →a x →a 9.- lím n f ( x ) = n lím f ( x ) , es válido siempre en el caso de n x →a x→a impar y si n es par podemos garantizarlo si lím f ( x ) > 0 .
x →a
n
Propiedad de la potencia
Propiedad de la raíz
Comentarios: 1.- Las conclusiones del Teorema tienen dos partes, una implícita: la función que se le toma límite en el lado izquierdo de la igualdad tiene límite en a y otra explícita: se dice que este límite vale el lado derecho de la igualdad. Por ejemplo, sitenemos que lím f ( x ) y lím g ( x) existen entonces podemos asegurar que el límite de
x→ a
x→ a
( f + g )( x ) cuando x va a a existe y vale el lado derecho de (4) 2.- Para aprenderse mejor estos resultados se suelen usar expresiones como: los factores constantes salen fuera del límite (propiedad 3); el límite de una suma es la suma de los límites (ésta es la propiedad de la suma: (propiedad...
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