limites




Materia


Bloque III
Límites
Docente:
Ing. Roberto Torres Serrano
Limites

Introducción a los límites
¿Qué es cálculo?
Cálculo es la matemática del cambio: velocidades y aceleraciones. Cálculo es también la matemática de rectas tangentes, pendientes, áreas, volúmenes, longitudes de arcos, centroides, curvaturas y otros diversos conceptos que han hecho que los científicos,ingenieros y economistas puedan modelar situaciones de la vida real.
Aunque las matemáticas previas al cálculo también versan sobre velocidades, aceleraciones, rectas tangentes, pendientes, etc., aquí se tiene una diferencia fundamental entre las matemáticas previas y el propio cálculo: las matemáticas previas al cálculo son más estáticas, en tanto que el cálculo es más dinámico.
Cada rama de lasmatemáticas tiene conceptos que resultan centrales para el desarrollo de la misma.
Nosotros empezamos el estudio del cálculo infinitesimal, que está compuesto del cálculo diferencial y del cálculo integral.
Los conceptos fundamentales en cálculo, la derivada y la integral, son definidos a partir de otro, todavía más fundamental: el concepto de límite.
Por lo tanto entre todos los conceptos quese presentan en el cálculo infinitesimal, el de límite, es a no dudarlo, el más importante, y quizás el más difícil. El objetivo de esta bloque es dar la definición de límite, para esto empezamos con una definición provisional, hay que tener en cuenta que, no vamos a definir la palabra “limite”, sino la noción de función que tiende hacia un límite.

¿Qué es un límite intuitivo?
Noción intuitivade límite

Iniciemos el concepto intuitivo de límite, para entender la idea de cercanía, el comportamiento de valor limite; pero en un primer curso de Cálculo como este, va costar familiarizarse con esta definición, ya que la misma matemática le costó más de un siglo precisarla como presentamos ahora, así el trabajo no riguroso que presentamos permitirá entender su contenido.

Nosotrosutilizamos los límites muy frecuentemente, pero no los reconocemos como tales simplemente porque no estamos acostumbrados a pensar en términos de ellos.

Ejemplo 1:





Ejemplo 2






Ejemplo 3


Hablar del concepto de límite de una función cuando x tiende a un punto significa pensar en el valor al cual se acercará la función cuando el argumento de la misma se aproxima a dichopunto.



NOCIÓN INTUITIVA DE LÍMITE
Considérese la función definida por:

x≠ 1 el único punto en el cual f(x) no está definida es en x = 1, pero, en puntos tan cercanos a 1 como se quiera, la función se encuentra definida. Esta situación da lugar a la siguiente pregunta: ¿Se aproxima f(x) a algún valor específico, cuando x se aproxima a 1?
En las tablas siguientes se hace un seguimientode f(x), cuando x se aproxima a 1 por la izquierda (valores menores que 1) y por la derecha de 1 (valores mayores que 1).

La observación atenta de ambas tablas sugiere una respuesta a la pregunta formulada antes. Nótese que a medida que los valores de x, se "acercan" a 1, sin tomar el valor de 1, los valores de f(x) se "acercan" a 3. Dándole a la palabra límite un significado intuitivo, se diceque:
El "límite" de la función f(x) es 3 cuando x tiende a 1. La afirmación anterior frecuentemente se expresa simbólicamente por cualquiera de las formas:













Podemos dibujar una tabla para analizar los valores
de f (x) cuando x se acerca a 3 :


La gráfica de la función dada nos queda de la siguiente manera:

Observa que la función dada en el ejemplo 1 estádefinida para x = 3, pero en ningún momento se sustituye dicho valor en la función para encontrar el valor de lim (f x)
x→3

Ejemplo 2. Elabora la gráfica y obtén el límite para la función f (x) cuando x tiende a 2 , donde f se define como



La gráfica de la función dada nos queda de la siguiente manera:










La gráfica de la función dada nos queda de la...