Limites

Teorema Épsilon- Delta
Si la función tiene límite en podemos decir de manera informal que la función tiende hacia el límite cerca de si se puede hacer que esté tan cerca como queramos de haciendo que esté suficientemente cerca de siendo distinto de .
Los conceptos cerca y suficientemente cerca son matemáticamente poco precisos. Por esta razón, se da una definición formalde límite que precisa estos conceptos. Entonces se dice:
El límite de una función f(x), cuando x tiende a c es L si y sólo si para todo existe un tal que para todo número real x en el dominio de la función .
Esto, escrito en notación formal:



Lo importante es comprender que el formalismo no lo hacen los símbolos matemáticos, sino, la precisión con la que queda definido el concepto delímite. Esta notación es tremendamente poderosa, pues, nos dice que si el límite existe, entonces se puede estar tan cerca de él como se desee. Si no se logra estar lo suficientemente cerca, entonces la elección del δ no era adecuada. La definición asegura que si el límite existe, entonces es posible encontrar tal δ.
No obstante, hay casos como por ejemplo la función de Dirichlet definidacomo:

donde no existe un número c para el cual exista . Por lo tanto, para demostrar la anterior afirmación es necesario hacer uso del hecho de que cada intervalo contiene tanto números racionales como irracionales.

Propiedades de las funciones

1. Continuidad
Si una función y=f(x) pude representarse en todo su dominio mediante un trazo continuo decimos que dicha función es continua. Esdecir, si puedes dibujar la gráfica de la función sin levantar el lápiz dicha función es continua. Veamos a continuación la gráfica de una función continua:


Cuando esto no ocurre, es decir, cuando tenemos que levantar el lápiz en algún momento a la hora de trazar la gráfica de la función, se dice que la función es discontinua. Puede ocurrir que una función sea discontinua en su dominio paradeterminados puntos. Observa el siguiente ejemplo:

Fíjate en los puntos que no tienen relleno. Esa es la forma de representar que la función no tiene dibujo exactamente ahí, o dicho matemáticamente, la función no existe o no está definida en ese punto. Así, la función del ejemplo no está definida para x=-4, x=2 y x=6. Por tanto, para dichas abscisas la función es discontinua, levantaríamos ellápiz a la hora de dibujar la gráfica justamente para dichos valores de la x.

Puede ocurrir que la función sí exista o esté definida en un punto pero sea discontinua en el mismo, observa el siguiente ejemplo:

Cuando dibujo la función empezando por la izquierda, realizo un trazo continuo hasta llegar a x=0. Tengo que pegar un salto con el lápiz para seguir dibujándola, por lo tanto la función esdiscontinua en x=0. Pero observa que en x=0, en el trazo que empieza a la altura y=1, el punto está relleno, así que la función sí tiene dibujo o existe para x=0. Lo que nunca podría ocurrir es que los dos puntos se dibujaran rellenos, pues eso significaría que dicha gráfica no correspondería a una función, ya que a una misma x le corresponderían dos coordenadas y diferentes, lo que sabemos queva en contra de la definición de una función. Este tipo de discontinuidad se suele denominar "de salto".










Puede ocurrir que el salto sea infinito. Observa el siguiente ejemplo:


En esta función, para x=-2 vemos que cuando la función se acerca por la izquierda se dispara creciendo indefinidamente y muy rápido. Cuando nos acercamos a x=-2 por la derecha ocurre lo mismo, perocon la función disparándose hacia abajo, decreciendo indefinidamente y muy rápido. Parece que a la función "se le va la pinza" para esa abscisa. En cursos posteriores verás que la razón es que en x=-2 hay una asíntota. Pero no te preocupes, por ahora vamos a decir que en x=-2 hay "ramas infinitas" y que la función "se dispara hacia el infinito por la izquierda y hacia el menos infinito por la...