Limites

RESUMEN DE LA UNIDAD
En la segunda unidad, se inicia el estudio de la derivada a partir del análisis de la variación de funciones polinomiales de primer a tercer grado. Se llega a la derivada comola función que proporciona la razón de cambio instantánea, así, en la función lineal resalta la invariabilidad de la pendiente y el porque la derivada es una función constante. En la cuadrática, lasegunda variación permite analizar la concavidad y por último en la cúbica se estudia los cambios de concavidad asociados con los puntos de inflexión.
Una situación que se modela con una función de 1°grado es la siguiente:
Se sabe que un automóvil recorre 18 km por litro, si el tanque tiene una capacidad de 40 litros, ¿cuánto gastará al recorrer 0,2,4,6, etc. Kilómetros?
La función lineal delgasto de gasolina representada algebraicamente es:
f(x)=-1/18 x+40
en donde x representa los kilómetros recorridos.
La representación tabular es la siguiente:
x=km recorridos 2 4 6 8 10f(x)=gasto de gasolina 39.88 39.77 39.66 39.55 39.44

Como se puede ver en la tabla, si efectuamos la diferencia de cualquiera de los valores de f(x) y lo dividimos entre la diferencia de los kilómetroscorrespondientes recorridos, siempre obtendremos el mismo valor, es decir, obtendremos el valor de la pendiente, por ejemplo:
(39.44-39.88)/(10-2)=(39.55-39.77)/(8-4)=-0.55=-1/18
De donde concluimos quela variación de la función lineal es siempre constante.

La definición de la pendiente m de la recta tangente a la gráfica de una función f(x) en el punto P(a,f(a)) está dada por el límitesiguiente:
m=lim┬(h→0)⁡〖(f(a+h)-f(a))/h〗



Para ejemplificar lo dicho anteriormente consideremos la función definida por:
f(x)=3x-5
Para encontrar la pendiente de la recta tangente a la gráfica de fen el punto (1,-2) encontramos el límite que define la pendiente:
〖m=lim┬(h→0)〗⁡〖(f(1+h)-f(1))/h〗
=lim┬(h→0)⁡〖(3(1+h)-5-(3(1)-5)))/h〗
=lim┬(h→0)⁡〖(3+3h-5-3+5)/h〗
=lim┬(h→0)⁡〖3h/h〗
=3

Una de...