Limites

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LÍMITES Y CONTINUIDAD

Definición de límite

Cuando f(x) está arbitrariamente cerca de un número real L, para toda x lo suficientemente cerca, pero diferente de a, se dice que: [pic].
Ejemplo: [pic]. Observamos que [pic] no existe, ya que no se puede dividir entre cero.
|[pic] |[pic] | ||
|x |[pic] |x |[pic] | | |
|1.9 |3.9 |2.1 |4.1 | | |
|1.95 |3.95 |2.05 |4.05| | |
|1.99 |3.99 |2.01 |4.01 | | |
|1.995 |3.995 |2.005 |4.005 | | ||1.999 |3.999 |2.001 |4.001 | | |

Podemos concluir que: [pic], como puede verse con toda claridad en la gráfica.

En las siguientes gráficas se puede analizar si el límite de la función que representan existe o no, cuando x se acerca a un valor determinado:

[pic],[pic] [pic], [pic] [pic], [pic]

[pic] [pic] [pic], [pic]
[pic] no existe f(0) no existe
Propiedades de los límites

1. [pic], es decir: el límite de una constante es la misma constante.
2. [pic]
3. [pic]
4. [pic]
5. Si [pic] (función polinomio), entonces: [pic]
6. [pic]
7. [pic]
8. [pic]
Ejemplos

1. [pic]; Teorema 1
2.[pic]; Teoremas 3 y 2
3. [pic]; Teoremas 4, 3, 1 y 2
4. [pic]; Teorema 5
5. [pic]; Teoremas 6 y 5
6. [pic]; Teoremas 7 y 5
7. [pic]; Teoremas 8 y 5
8. [pic] no existe; Teoremas 7 y 5

Cálculo de límites que implican la indeterminación [pic]

1. [pic]
2. [pic]
3. [pic]
4. [pic]
5. Si[pic] [pic]; [pic] [pic]
6. Si [pic] ; [pic] [pic]Límites unilaterales

[pic]

Ejemplos

[pic] [pic] [pic]

[pic] [pic] [pic]
[pic] [pic] [pic]

Límites infinitos

Si [pic], dependiendo del signo del cociente.

Ejemplos

1 [pic] , puesto que +/+ = + .Ver gráfica en la siguiente hoja, a la izquierda.
2 [pic] , puesto que - / - = + ; [pic] , puesto que - / + = -
[pic] no existe.Ver gráfica en la siguiente hoja, en el centro.
3 [pic] [pic]; [pic]
[pic] no existe . Ver gráfica abajo a la derecha.

[pic] [pic] [pic]

4. [pic]
Ver gráfica a la derecha. Observar que el punto (-3, -1/6) [pic]
no existe, puesto que: [pic]

Límites al infinito

[pic] o [pic] . La x puede tender al infinito positivo o alinfinito negativo y el resultado del límite, en el segundo caso, puede ser infinito positivo o infinito negativo, dependiendo de la función.

Ejemplos

1. [pic]. Cuando x crece al infinito, la función tiende a cero a través de valores positivos.
[pic]. Cuando x crece al infinito, la función tiende a cero a través de valores negativos.
Ver la gráfica de la función en la siguientehoja, a la izquierda.
2. [pic] En ambos casos, la función tiende a cero a través de valores positivos.
Ver gráfica en la siguiente hoja, en el centro.

3. [pic] . Ver gráfica abajo a la derecha.
[pic] no existe, porque la función no está definida para valores de [pic]

[pic] [pic] [pic]

Todas las propiedades vistas para límites normales, también son...
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