limites

LIMITES
El límite es un concepto que describe la tendencia de una función,
a medida que los parámetros de esa función se acercan a
determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real ymatemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos
fundamentales de convergencia, continuidad, derivación,
integración, entre otros.
DEFINICIÓN
El límite de 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 tiende a 𝑎, es elnúmero 𝐿, que se
escribe
lim 𝑓(𝑥) = 𝐿
𝑥→𝑎

siempre que 𝑓(𝑥) este arbitrariamente cercana a 𝐿 para toda 𝑥 lo
suficientemente cerca, pero diferente de 𝑎. Si no existe tal número,
se dice que el límite noexiste.

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PROPIEDADES DE LOS LÍMITES
Los límites, como otros entes matemáticos, cumplen las siguientes
propiedades generales, que son usadas muchas veces para
simplificar el cálculo de los mismos.Limite de una constante: El límite de una constante es la misma
constante:

Ejemplo: lim 7 = 7
𝑥→14

Límite de 𝒙𝒏 : El límite de 𝑥 𝑛 es el valor que resulta de reemplazar 𝑥
por el valor al cualtiende:
lim 𝑥 𝑛 = 𝑎𝑛

𝑥→𝑎

Ejemplo: lim 𝑥 3 = (−5)3 = −125
𝑥→−5

Límite de una constante por una función: El límite de una
constante por una función es la constante por el límite de la función:
lim 𝑐𝑓(𝑥) = 𝑐lim 𝑓(𝑥) , 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑐 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

Ejemplo: lim 16𝑥 3 = 16 lim 𝑥 3 = 16(−1)3 = −16
𝑥→−1

𝑥→−1

Límite de una suma o diferencia: El límite de una suma o
diferencia es la suma o diferencia,respectivamente, de los límites:

Ejemplo:
lim 𝑥 3 + 4 = lim 𝑥 3 + lim 4 = (5)3 + 4 = 125 + 4 = 129

𝑥→5

𝑥→5

𝑥→5

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Límite de un producto: El límite de un producto es el producto de
los límites:Ejemplo:
lim (𝑥 + 3)(7 − 𝑥 2 ) = lim(𝑥 + 3) lim(7 − 𝑥 2 )

𝑥→2

𝑥→2

𝑥→2

= (lim 𝑥 + lim 3) (lim 7 − lim 𝑥 2 )
𝑥→2

𝑥→2

𝑥→2

= ((2) + (3))((7) −

(2)2

𝑥→2

) = (5)(7 − 4) = (5)(3) = 15

Límite deun cociente: El límite de un cociente es el cociente de
los límites, siempre que el denominador no tenga un límite de cero:

Ejemplo:
lim

𝑥 2 +16

𝑥→0 𝑥−4

=

lim (𝑥 2 +16)

𝑥→0

lim (𝑥−4)

𝑥→0

=...