Limiteslateralescontinuidad

CÁLCULO

© Educaguia.com

LÍMITES LATERALES CONTINUIDAD

LIMITES LATERALES
En el cálculo de límites, hay ocasiones, en las que la función a tratar no es
la misma para todos los valores deexistencia de dicha función. En esos
casos debemos de decidir que función tenemos que utilizar. Para eso
utilizamos los límites laterales. Por ejemplo:
⎧2 x + 1 si x ≤ 2
f ( x) = ⎨
⎩3 x − 2 si x〉 22x+1

3x-2

2

Cuando vayamos a resolver el límite cuando tienda a 2, debemos de elegir
cual de las dos funciones utilizamos. Pues bien, ante este problema,
utilizamos los llamados límiteslaterales, es decir, límites cuando x tiende a
2 por la derecha (es decir, para valores mayores que 2), y límites cuando x
tiende a 2 por la izquierda (es decir, para valores menores que 2).
lim f( x) = lim+ (3 x − 2) = 3.2 − 2 = 6 − 2 = 4

x→2+

x→2

lim f ( x) = lim− (2 x + 1) = 2.2 + 1 = 4 + 1 = 5

x→2−

x→2

LÍMITES LATERALES CONTINUIDAD

(Pilar Folgueras Russell)

1CÁLCULO

© Educaguia.com

CONTINUIDAD
Una función se considera continua cuando cumple:

lim f ( x) = lim− f ( x) = f (a)

x →a +

x →a

Ejemplo:

⎧2 x − 5 si x ≤ 3
f ( x) = ⎨
⎩ x − 2 six > 3
Para comprobar la continuidad hacemos los límites laterales y la función en el punto.
lim f ( x) = lim (2 x − 5) = 2.3 − 5 = 6 − 5 = 1
−

x →3 −

x →3

lim f ( x) = lim ( x − 2) = 3 −2 = 1
+

x →3 +

x →3

f (3) = 2.3 − 5 = 6 − 5 = 1
Como el límite por la derecha es igual al límite por la izquierda e igual a la
función en el punto, consideramos que la función es continuaen el punto
x=3.
Hay dos tipos fundamentales de discontinuidad:

•

No evitable:
o De salto finito: Cuando los límites laterales son distintos pero
tienen un valor real.
o De salto infinito:Cuando los límites laterales son distintos,
pero al menos uno de ellos toma un valor +∞ o -∞

⎧ x + 2 si x ≤ 2
f ( x) = ⎨
⎩3 x − 1 si x > 2

lim f ( x ) = lim− ( x + 2 ) = 2 + 2 = 4

x→ 2−...