Linea del tiempo de la informatica

Páginas: 6 (1329 palabras) Publicado: 24 de agosto de 2012
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES

El conjunto de los números reales, protagonista principal y casi único de nuestro quehacer matemático requiere ser identificado con cierta claridad y precisión en aras del rigor que debe acompañar todo nuestro quehacer, del mismo modo son necesarias las caracterizaciones de los otros sistemas numéricos que forman parte de los reales.

Los Reales conformanlo que se llama una Estructura Algebraica, es decir un conjunto de Axiomas y operaciones que le dan el carácter de un Cuerpo-Ordenado y Completo. Se verá que en el enunciado de estos axiomas faltan muchas propiedades de los reales que son conocidas y con las que hemos convivido desde nuestros primeros años de estudio, y es que todas ellas se derivan de estos enunciados y eso es lo grandioso deesta caracterización.

R es un Cuerpo: Es decir que admite dos operaciones llamadas suma y producto entre reales y que satisfacen los siguientes Axiomas
Clausura
Conmutatividad
Asociatividad
Neutro aditivo
Inverso aditivo
Clausura
Conmutatividad
Elemento unitario
; Inverso multiplicativo
Distributividad.

Como se decía, de estos axiomas surgen otraspropiedades de los reales que son objeto de demostraciones, que denominamos Teoremas y que no son sino aquellas que hemos estado asumiendo en nuestro quehacer cotidiano.

.-
;

.

;
;

.

Las demostraciones son tema para cursos en currículos de formación matemática, por ahora basta saber que son consecuencias de los Axiomas.

R es Ordenado: Se admite axiomáticamente que existe unsub-conjunto de R denominado de números positivos señalado por que cumplen los

Axiomas de Orden:

.

Se definen los conceptos que le dan sentido al carácter de ordenado de R: Con los símbolos:

;
;

1.-”x mayor o igual a y”
2.- “x mayor que y”
3.-.”x menor o igual a y”
4.- “x menor que y”

Aquí, como es de suponer, también surgen otras proposiciones.


óCon los axiomas y estas propiedades se pueden resolver ahora problemas de desigualdades y de inecuaciones que serán temas de nuestra preocupación posterior.

Observación:

Estos elementos nos permiten además trazar un gráfico de representación de los reales en un eje o recta orientada en que cada real es un punto en la recta y cada punto de la recta un real Así a la izquierda del 0están los reales de y a su derecha los de , de modo que si a < b ;b se ubica a la derecha de a.

a 0 b

Además debemos señalar que existen otros conjuntos numéricos dentro de R y que están caracterizados por:

1. N el conjunto de los naturales; 1,.2,3,4,5,6,7……caracterizados por el hecho que : a) 1N; b) SinN n+1N.( n+1 es llamado sucesor de n, 1 es el único que no es sucesor de ninguno)

2. Z el conjunto de los enteros conformado por los naturales el cero y sus negativos: ……-3,-2,-1,0,1,2,3,…..

3. Q el conjunto de los Racionales, son de la forma con x e y enteros, e y no nulo.

Así se tendrá que: . Donde es el conjunto de los Irracionales. Además existe otroconjunto y que contiene a los reales y que son Los Complejos, en él está, por ejemplo, las soluciones de la ecuación:

R es Completo: Esto es, que cumplen el denominado Axioma del Supremo:

Axioma del Supremo
Acotamiento de conjuntos

Cota Superior e Inferior
Antes de presentarles el axioma del supremo, axioma de los números reales, debemos estudiar una serie de definiciones que sirvenpara acotar conjuntos: cotas superiores e inferiores, máximos y mínimos, supremos e ínfimos.

Acotado Superiormente
Un conjunto A es acotado superiormente si existe un real M que es mayor que todos los elementos del conjunto A, es decir

∃ M∈R∀x∈A∋x≤M

(A este número M, se le llamará cota superior de A.

Observación
Cualquier otro real mayor que M, también será una cota superior de A....
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