Lineal

Páginas: 6 (1266 palabras) Publicado: 21 de febrero de 2013
Clase 4 – Aplicaciones
Álgebra Lineal

Escuela de Matemáticas - Facultad de Ciencias
Universidad Nacional de Colombia

Código 1000 003

1

Asignación de Recursos

Ejemplo. Tres compuestos se combinan para formar tres tipos de fertilizantes. Una unidad del fertilizante del tipo
I requiere 10 kg del compuesto A, 10 kg del B y 20 kg del C; una unidad del fertilizante del tipo IIrequiere 30 kg
del compuesto A, 40 kg del B y 50 kg del C; una unidad del fertilizante del tipo III requiere 20 kg del compuesto A,
10 kg del B y 50 kg del C. Si hay disponible 250.000 kg del compuesto A, 200.000 kg del compuesto B y 550.000 kg
del compuesto C. Se desea saber cuántas unidades de cada tipo de fertilizante se pueden producir si se usa todo el
material químico disponible.
(a) Planteeun sistema de ecuaciones lineales que permita resolver el problema. Defina claramente las variables a
utilizar.
(b) Encuentre un intervalo, para cada variable libre, donde las soluciones tienen sentido.
(c) Si se tiene la cantidad mínima del fertilizante del tipo III ¿Cuántas unidades de cada tipo de fertilizante se
puede producir?

Solución.

(a) Definimos las variables como

x = número deunidades de fertilizante tipo I que se produce usando todo el material químico disponible.
y = número de unidades de fertilizante tipo II que se produce usando todo el material químico disponible.
z = número de unidades de fertilizante tipo III que se produce usando todo el material químico disponible.
Entonces, al utilizar todo el material químico disponible, obtenemos las ecuaciones
10x +30y + 20z = 250.000
10x + 40y + 10z = 200.000
20x + 50y + 50z = 550.000
(b) Primero, hallemos el conjunto solución del sistema
respectiva matriz reducida se muestran a continuación
2
3
2
10 30 20 250.000
132
4 10 40 10 200.000 5 ! 4 1 4 1
20 50 50 550.000
255
Por tanto,

x = 40.000

5z

y

y=

(1)

lineal (1). La matriz aumentada asociada al sistema y su
3
25.000
20.0005 !
55.000
5.000 + z;

2

1
!4 0
0

0
1
0

5
1
0

3
40.000
5.000 5
0

z : variable libre.

Por otro lado, cada una de las variables del sistema deben ser enteros positivos, así
5z

z,

5.000 + z

0,

8000

40.000

0

z

y

0.

De donde,
z

5.000

y

z

0.

Luego, z es un entero entre 5.000 y 8.000.
(c) La cantidad mínima de fertilizantetipo III es de 5.000. Luego, si se obtiene dicha cantidad se deben tener 15.000
X
unidades de fertilizante tipo I y 0 unidades de fertilizante tipo II.

1

2

Balanceo de ecuaciones químicas

Cuando se presenta una reacción química, ciertas moléculas (los reactantes) se combinan para formar nuevas moléculas (los productos). Una ecuación química balanceada es una ecuación algebraica queproporciona los números relativos de reactantes y productos en la reacción y tiene el mismo número de átomos de cada tipo tanto del lado
izquierdo como del lado derecho de la ecuación.
La ecuación por lo regular se escribe con los reactantes a la izquierda, los productos a la derecha y una flecha
entre ellos para mostrar la dirección de la reacción. Por ejemplo
2H2 + O2
Ejemplo.

!

2H2 O.Balancee la ecuación química de cada reacción.

(a) Na2 CO3 + C + N2 ! NaCN + CO.

(b) CO2 + H2 O ! C6 H12 O6 + O2 .

(c) FeS2 + O2 ! Fe2 O3 + SO2 .

(a) Para balancear la ecuación química dada, introducimos variables x, y, z, w, k :

Solución.

xNa2 CO3 + yC + zN2

!

wNaCN + kCO.

Dado que los números de moles de Na, C, O y N deben ser iguales tanto de un lado como del otro,se sigue que
Sodio
Carbono
Oxígeno
Nitrógeno

2x = w
x+y = w+k
3x = k
2z = w

Na :
C:
O:
N:

(2)

Reescribiendo el sistema 2, obtenemos el siguiente sistema homogéneo
2x
x+y
3x

=0
k=0
k=0
=0

w
w
2z

w

(3)

cuya matriz aumentada y su respectiva forma reducida es
2

Con lo que

2
61
6
43
0
x=

0
1
0
0
k
,
3

0
0
0
2

1
1
0
1

y=...
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