lineal

CASO:
La VOLKSWAGEN CO. produce vehículos de alta calidad, incluyendo la
línea VW Golf SR y la línea VW Golf GTI. Tiene tres plantas. Los chasis y
accesorios del estilo SR hacen en la planta 1, los chasis y accesorios del
estilo GTI fabrican e la planta 2 y en la planta 3 se fabrican los motores y
se ensamblan los vehículos.
Debido a que las ganancias se han reducido, la alta administración
hadecidido reorganizar la línea de producción de la compañía. Se
descontinuarán varios líneas de vehículos no rentables y se dejará libre
una parte de la capacidad de producción para emprender la
fabricación de dos vehículos que tienen ventas potenciales grandes:
Producto 1: VW Golf SR.
Producto 2: VW Golf GTI.
El producto1 requiere de la capacidad de producción en las plantas
1 y 3 y nada en laplanta 2. El producto 2 sólo necesita trabajo en las
plantas 2 y 3. La división de comercialización ha concluido que la
compañía puede vender todos los productos que se puedan fabricar
en las plantas. Sin embargo, como ambos productos competirían por la
misma capacidad de producción en la planta 3, no esta claro qué
mezcla de productos sería la más rentable. Por lo tanto, se ha formado
un equipo de IOpara estudiar esta cuestión.
El equipo de IO comenzó con algunas discusiones con la alta
administración para identificar los objetivos del estudio. Estas discusiones
llevaron a desarrollar la siguiente definición del problema:
Determinar que tasas de producción deben de tener todos los productos con el
fin de maximizar las utilidades totales, sujetándose a las restricciones impuestas
por lascapacidades de producción limitadas disponibles en las tres plantas.
(Cada producto se fabricará en lotes de 20, de manera que la tasa de
producción esta definida con el número de lotes que se producen a la
semana.) Se permite cualquier combinación de tasas de producción que
satisfaga estas restricciones, incluyendo no producir uno de los productos y
todo lo que sea posible del otro.

El equipo IO,identificó los datos que necesitaba reunir y reconoció
de inmediato que se trataba de un problema de programación lineal
del tipo clásico de mezcla de productos y procedió a la formulación del
modelo matemático y su solución por el método simples (gráfico y
analítico)
Datos para el problema de la VW Co.

Tiempo de producción
por lote, horas

Tiempo de producción
disponible a la semana, horasProducto
Planta
1
2
3
Ganancia por lote

1
1
0
3
$120,000

2
0
2
2
$200,000

4
12
18

Para formular el modelo matemático de programación lineal para este
problema es:
X1 = número de lotes del producto 1 fabricados por semana
X2 = número de lotes del producto 2 fabricados por semana
Z = Ganancia semanal total (en miles de dólares) por la producción de
estos dos productos.
Así X1 y X2 son variables dedecisión para el modelo. Usando el último
renglón de la tabla se obtiene:
Z = 120000X1 + 200000X2(dividido entre 40,000)
simplificando la anterior ecuación: Z = 3X1 + 5X2
El objetivo es elegir los valores de X1 y X2 de manera que maximicen Z=
3X1 + 5X2, sujeta a las restricciones impuestas sobre sus valores sobre las
capacidades de producción limitadas disponibles en las tres plantas.
Máximizar: Z =3X1 + 5X2
S.A.

X1  4
2X2  12
3X1 + 2X2  18

Resolviendo por el método gráfico:
Tenemos las siguientes ecuaciones a gráficar:
1) X1  4
2) 2X2  12  X2  6
3) 3X1 + 2X2  18
X1= 0
X1= 6
X2= 9
X2= 0
GRAFICA:

10

X2

9

3X1+2X2 = 18

8
X2 = 6

7
6

(0,6)

(2,6)

5
4
3

AREA DE
SOLUCIÓN

(4,3)

X1 = 4

2
1
(4,0)

1

Puntos
(0,6)
(2,6)
(4,3)
(4,0)

2

3

Z= 3X1+5X2
3(0)+5(6)
3(2)+5(6)
3(4)+5(3)3(4)+5(0)

4

X1
5

Z
30
36
27
12

6

7

8

Óptimo

Conclusiones: El equipo IO utilizó este procedimiento para encontrar
que la solución óptima deseada es X1=2, X2=6, con Z=36. Esta solución
indica que la VOLKSWAGEN CO. debe fabricar productos 1 y 2 a una
tasa de 2 y 6 lotes por semana, respectivamente con una ganancia
total resultante de 36*40000= 1,444,000 dólares semanales.

Resolviendo por...