Lineas de campo electrico

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Programación en Python y Gnuplot de las lineas de Campo Eléctrico de un Dipolo
David Castellanos Robles Isaac Jacob Reynoso Rosas José Gilberto Amaro Aceves Facultad de Ciencias UNAM Ciudad Universitaria 4 de febrero del 2011 México, D.F.

Introducción Una de las fuerzas fundamentales para la descripción de una parte del universo es la fuerza electromagnética o fuerza Lorenziana; cuyainformación está descrita por la ecuación: (1) F=qEqv x B

En donde E es el campo eléctrico, B el campo Magnético, q la carga y v la velocidad de la partícula de prueba. Ambas campos son cantidades vectoriales que tienen dirección, sentido y magnitud. En este proyecto sólo se atenderá la parte eléctrica de la ecuación (1) aplicada a dos partículas con cargas opuestas pero de magnitud iguales: esteproblema es generalmente como el dipolo eléctrico. Así, el objetivo de este trabajo es doble: por un lado, se calculará el campo eléctrico del dipolo, para ello se utilizarán algunas propiedades de los espacios vectoriales; por otro, se propondrá una simulación computacional del campo obtenido, utilizando las herramientas proporcionadas por el lenguaje Python y el graficador Gnuplot.

Cálculo delCampo Eléctrico Dipolar La idea que está detrás de la noción de campo es pensar que la sola presencia de partículas cagadas en un entorno espacial puede modificar la interacción con otras partículas. Esta interacción, para partículas estáticas, puede describirse con una Ley propuesta por Charles Coulomb alrededor de 1785, en donde se establece la existencia de una fuerza eléctrica que esinversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre las partículas, proporcional al producto de las cargas y tiene la propiedad de ser repulsiva frente a cargas iguales en signo y atractiva para cargas de signos distintos (Serway, p.8) ∣q q ∣ F12=k 1 2 2 r 12 (2) r k es la constante de Coulomb y tiene un valor aproximado de 9.0x109 Nm2 /C 2 . El hecho de que se traten a las fuerzas como elementos deun espacio vectorial implica que cuando se consideran múltiples partículas la fuerza total del sistema es la suma de las fuerzas presentes: este fenómeno es conocido como el principio de superposición (Resnick|, 1999, p.6)

Así, la definición de campo eléctrico está en términos de la fuerza ejercida de un conjunto de cargas sobre una carga de prueba, (3) E= F q0

cuyas propiedades vectorialesse conservan. En nuestro análisis se considera un arreglo de partículas como en la figura 1. El punto P, representa nuestra carga de prueba y sobre él se calculará el campo eléctrico; el cuál es resultante de la presencia de las cargas q+ y q-. La representación de dicho campo será en coordenadas cartesianas.
Figura 1. Arreglo de dos partículas cargadas

Así, la primera consideración que ha deestablecerse es que el campo eléctrico dipolar tiene una proyección sobre el eje x, denominada Ex, y una proyección sobre el eje y, Ey. Por el principio de superposición, el campo eléctrico en P es la suma de los campos producidos por las partículas q+ y q-, (4) E p =EqE−q

La componente en x del campo en el punto p es la suma de las componentes en x para E+p y E-p, (5)

E px =Eqx E−qxDe igual forma, la componente en y del campo en el punto p es, (6)
E py =EqyE−qy

Consideremos los ángulos α, β y γ como se describen en la figura 1, entonces: (7) Por otro lado, (8) E py =qk  sinα sinβ  2  r2 r2 1 E px =qk  cosα cosβ  2  r2 r2 1

Utilizando la ley de los cosenos para los triángulos (Pq+a/2) y (Pq-a/2), llegamos a que, (9) a 2 a r =r   −2r   cosθ 2 2
2 1 2 2(10)

a 2 a r 2=r 2  2r   cosθ 2 2 2 2
r=   x 2 y 2 

Si consideramos que y=rcosθ, x=rcosθ y

Al sustituir los valores anteriores en la ecuación (9) llegamos a que, (11) (12) a r 2=x 2 y 2  −ay 1 2 a r =x  y   ay 2
2 2 2 2 2 2

Al factorizar ambas ecuaciones, (11) y (12) concluimos, (13) a r 2=x 2 y−  1 2
2

(14)

a 2 r 2=x 2 y  2 2

Para los ángulos...
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