lista 1

Instituto Politecnico Nacional
Escuela Superior de Fisica y Matematicas
Calculo I

No ir´ tan lejos como para afirmar que construir una
e
historia del pensamiento humano sin un profundo estudiode las ideas matem´ticas de sucesivas ´pocas, ser´
a
e
ıa
como omitir a Hamlet del drama que lleva su nombre.
Eso ser´ pretender demasiado. Pero, ciertamente
ıa
es an´logo a suprimir la partede Ofelia. Este s´
a
ımil
es singularmente exacto, ya que Ofelia es esencial
para la obra, muy encantadora-y un poco loca.
Admitamos que la dedicaci´n a las matem´ticas
o
a
es una locuradivina del esp´
ıritu humano, un refugio
ante la urgencia aguijoneante de los sucesos contingentes.

ALFRED NORTH WHITEHEAD
Science and the Modern World

Lista 1
Ejercicio 1.

Pruebe que si x, yson dos n´meros no ambos cero, entonces x2 + xy + y 2 > 0.
u

Ejercicio 2.

Si a, b ∈ R satisfacen la condici´n 0 < a < b, demuestre que
o
√
a <

Ejercicio 3.

Muestre que

ab <

a+b< b.
2

a
b
−
≤ |a − b|, ∀ a, b ∈ R.
1 + a2
1 + b2

Ejercicio 4.
Denotamos por max(x, y) al m´ximo de los n´meros x, y y por min(x, y) al m´
a
u
ınimo de
x, y. Pruebe que
max(x, y) =Ejercicio 5.

i)

x + y + |x − y|
2

min(x, y) =

x + y − |x − y|
2

Si los n´meros x, y satisfacen la condici´n |x − y| ≤ 1, pruebe que entonces
u
o
|x2 − y 2 | ≤ (1 + 2|y|)|x − y|Fije

> 0.

ii)

Deduzca de (i) que si los n´meros x, y satisfacen la condici´n |x − y| ≤ min
u
o
2

1 + 2|y|

,1 ,

2

entonces |x − y | ≤
Fije y ∈ R+ .

Ejercicio 6.
i)

Siel n´mero x ∈ R+ satisface la condici´n |x − y| ≤
u
o

y
, demuestre que
2

√
2 |x − y|
√
| x − y| ≤
√
3
y
Fije
ii)

> 0.

Deduzca de (i) que si el n´mero x ∈ R+ satisface lacondici´n |x − y| ≤ min
u
o
√
√
entonces | x − y| ≤ .
Fije y ∈ R − {0}.

Ejercicio 7.
i)

Si el n´mero x ∈ R − {0} satisface la condici´n |x − y| ≤
u
o
Fije

ii)

1
1
2
|y|
,...