Listado 1 Numeros Reales 1

Universidad de Concepción
Dpto. de Gestión Empresarial
Ingeniería Comercial
FCH/fch.

Listado 1: Números Reales
Cálculo I
1. Usando axiomas de R y las leyes decancelación, pruebe que ∀x, y, z, a, b ∈ R:
a) −(−x) = x.

i) Si a > 0, entonces x < y ⇔ xa < ya.

b) (x−1 )−1 = x, siempre que x = 0.

j) Si a < 0, entonces x < y ⇔ xa> ya.

c) −(x + y) = −x − y.

k) x < y ∧ a ≤ b ⇒ xa < yb.

d) (xy)−1 = x−1 · y −1 .

l) x ∈ R+ ⇒ x2 > 0. En particular,
1 > 0.

e) xy = 0 ⇔ x = 0 ∨ y = 0.
f ) (−1) ·x = −x.

m) x ∈ R+ ⇒ x−1 ∈ R+ .

g) x < y ⇔ x + z < y + z.

n) x, y ∈ R+ , x < y ⇔

h) x < y ∧ a < b ⇒ x + a < y + b.
ñ) Si x = 0 e y = 0, entonces:

xy > 0 ⇔ (x >0 ∧ y > 0) ∨ (x < 0 ∧ y < 0).
xy < 0 ⇔ (x > 0 ∧ y < 0) ∨ (x < 0 ∧ y > 0).
Práctica: (a), (d), (i), (l).

1

1
1
> .
x
y

2. Pruebe las siguientes propiedades devalor absoluto, considere que a, b ∈ R:
a) |a| ≥ 0.

e) |a| = |b| ⇔ a = b ∨ a = −b.

b) |a| = | − a|.

f ) |a|2 = |a2 | = a2 .

c) |a − b| = |b − a|.

g) |a · b| = |a|· |b|.

d) −|a| ≤ a ≤ |a|.

h) ||a| − |b|| ≤ |a − b|.

i) |a + b| ≤ |a| + |b|, desigualdad triangular.
j) Si b ≥ 0, entonces |a| = b ⇔ (a = b) ∨ (a = −b).
Práctica:(d), (g), (h).

3. Encuentre el conjunto solución de las siguientes inecuaciones:
a) (x − a)(x + a) ≥ 0, a > 0
x−a
b)
≥ 0, a > 0
x+a
x2
c)
<0
x−3
1
1
d) 3 <
x
27
x−1e)
> −2
x+1
1
f ) x2 − 1 + 2
≤0
x −1
g) −1 ≤ −3 + 3x < 2

j)
k)
l)
m)
n)
ñ)
o)

h) −3x + 4 ≤ 4x + 5
x 1
1
i) − > 2x +
2 4
3

p)
q)

Práctica: e), f), j), ñ), o) yq)

2

2x + 6 x
− <5
3
4
5x − 2 < 10x + 8 < 2x − 8
1
1
1
− ≤ 3x − ≤
5
4
3
6 − 3x
<4
2x +
4
|x − a| ≥ 0, a ∈ R
x−2
≥3
x+2
1
x+
≤3
x
x−1
≤6
x+1
|x + 4| < |x − 3|