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LECCIÓN

CONDENSADA

9.1
En esta lección
● ●

Uso de la fórmula de la distancia

Usarás el Teorema de Pitágoras para ayudarte a minimizar las distancias Usarás la fórmula de la distancia para hallar la ecuación de un lugar geométrico de puntos

En esta lección, descubrirás y aplicarás una fórmula para la distancia.

Investigación: Carrera de baldes
Imagina que estás en una carreraen la cual debes llevar un balde vacío desde un punto A hasta el borde de una piscina, llenar el balde con agua, y después llevarlo hasta un punto B. El punto A está a 5 metros de un extremo de la piscina, el punto B está a 7 metros del otro extremo, y la piscina tiene 20 metros de largo.
Salida A 5m x C 20 m 20 x Meta B

7m

Sea x la distancia desde el extremo de la piscina hasta un punto Csituado en el borde de la piscina. Completa los Pasos 1–4 en tu libro para hallar el valor de x que da la trayectoria más corta posible de A a C y de C a B. Aquí se dan las respuestas a los Pasos 2 y 3.

Paso 2 A continuación se presentan los datos correspondientes a varios valores de x. AC y CB se calcularon usando el Teorema de Pitágoras, pero también puedes hallarlas midiendo. Tus respuestaspueden ser ligeramente diferentes a éstas, dependiendo de cómo hayas redondeado o de la precisión de tus mediciones. x (m) 0 2 4 6 8 10 Paso 3 AC (m) 5 5.39 6.40 7.81 9.43 11.18 CB (m) 21.19 19.31 17.46 15.65 13.89 12.21 AC CB (m) 26.19 24.70 23.86 23.46 23.32 23.39 x (m) 12 14 16 18 20 AC (m) 13 14.87 16.76 18.68 20.62 CB (m) 10.63 9.22 8.06 7.28 7 AC CB (m) 23.63 24.09 24.82 25.96 27.62Método 1: La tabla anterior indica que un valor x de aproximadamente 8 minimiza la longitud de la trayectoria, lo cual significa que C debe estar a unos 8 m del extremo de la piscina. (Puedes obtener una respuesta más precisa intentando otros valores de x cercanos a 8.) Método 2: Usando el Teorema de Pitágoras, AC es 52 x 2 y BC es 72 (20 x)2 , de modo que la longitud, y, de la trayectoria puederepresentarse por y 52 x2 72 (20 x)2
(continúa)

Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish
©2004 Key Curriculum Press

CHAPTER 9

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4/16/04

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Lección 9.1 • Uso de la fórmula de la distancia (continuación)
Usando una tabla o gráfica de calculadora, puedes encontrar que el valor mínimo de y en esta función, que es aproximadamente23.32, corresponde a un valor x de aproximadamente 8.33. Así pues, el punto C debe estar ubicado a unos 8.33 m del extremo de la piscina. La cantidad de agua que queda en el balde al final de la carrera es un factor importante para ganar. Imagina que puedes llevar un balde vacío a una velocidad de 1.2 m/s y que puedes llevar el balde lleno, sin derramar agua, a una velocidad de 0.4 m/s. Completalos Pasos 5 y 6 en tu libro para hallar la ubicación de C que minimiza el tiempo que te llevará ir desde el punto A al punto C y de ahí al punto B. Después compara tus resultados con los siguientes.
Paso 5 x (m) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Paso 6

Usa el hecho de que tiempo
Tiempo para AC (s) 4.17 4.49 5.34 6.51 7.86 9.32 10.83 12.39 13.97 15.57 17.18

distancia velocidad .

Tiempo para CB(s) 52.98 48.28 43.65 39.13 34.73 30.53 26.58 23.05 20.15 18.20 17.50

Tiempo total (s) 57.15 52.77 48.99 45.64 42.59 39.85 37.41 35.44 34.12 33.77 34.68
52 x 2 , 1.2

El tiempo requerido para ir de A a C es
72 (20 0.4 x)2

y el tiempo requerido

para ir de C a B es 52 x 2 1.2

. Por tanto, el tiempo total, y, puede x)2

representarse por la función y 72 (20 0.4

El valor x queminimiza esta función es aproximadamente 17.63. El valor y correspondiente a este valor x es aproximadamente 33.75. Por tanto, para minimizar el tiempo, el punto C debe estar a 17.63 m del extremo de la piscina. El tiempo mínimo será de unos 33.75 s. La distancia recorrida es aproximadamente 25.96 m. Esta distancia es mayor que la distancia que encontraste en el Paso 3, pero el segundo tramo, CB,...
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