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130 – Matem´ticas I a

Parte IV

C´lculo integral en I a R

Prof: Jos Antonio Abia Vian

I.T.I. en Electricidad

131 – Matem´ticas I : C´lculo integral en I a a R

Tema 11

C´lculo de primitivas a
11.1 Primitiva de una funci´n o

Definici´n 255.- Diremos que la funci´n F continua en [a, b], es una primitiva de la funci´n f en el intervalo o o o [a, b] si y s´lo si F (x) = f (x),∀x ∈ (a, b). o Teorema 256.- Si F y G son dos funciones primitivas de la funci´n f en [a, b], entonces F −G es una funci´n o o constante en [a, b]. Demostraci´n: o Para cada c ∈ (a, b), se tiene que (F − G) (c) = F (c) − G (c) = f (c) − f (c) = 0, Por el teorema del valor medio de Lagrange, para cada x ∈ [a, b], F (x) − G(x) − F (a) − G(a) = (F − G) (c)(x − a) = 0, luego F (x) − G(x) = F (a) − G(a)= k para todo x ∈ [a, b]. Observaci´n: o Como consecuencia del teorema anterior, se tiene que si F es una funci´n primitiva de f en [a, b], entonces o {F (x) + C : C ∈ IR} es el conjunto formado por todas las funciones primitivas de f en [a, b]. Definici´n 257.- Llamaremos integral indefinida de f al conjunto de todas las primitivas de la funci´n f , o o y lo denotaremos por f (x) dx. f (x) dx = F(x) + C , con C ∈ IR . luego tiene derivada nula.

Si F es una funci´n primitiva de f , escribiremos unicamente o ´

Propiedad 258.Demostraci´n: o Sean F (x) = f (x)

(λf + µg)(x) dx = λ

f (x) dx + µ g(x) dx.

Es decir, una primitiva de la suma y el

producto por escalares se obtiene como suma de primitivas y como primitivas por escalares. y G (x) = g(x). Entonces

((λF + µG)(x)) =λF (x) + µG (x) = λf (x) + µg(x) = (λf + µg)(x), luego λF + µG es una primitiva de λf + µg .

11.1.1

Tabla de integrales inmediatas

Es usual manejar una tabla de primitivas inmediata, pero que en realidad se reduce a una tabla de derivadas conocidas: xa dx =
1 a+1

xa+1 + C, a = −1

1 x

dx = ln |x| + C

ax dx =
1 cos2 x √ −1 1−x2

1 ln a

ax + C

cos x dx = sen x + C
dxsen2 x 1 1+x2

sen x dx = − cos x + C
√ 1 1−x2 −1 1+x2 1 ch2 x 1 2

dx = tg x + C dx = arccos x + C

= − cotg x + C

dx = arcsen x + C dx = arccotg x + C dx = th x + C
√ 1 x2 −1

dx = arctg x + C

ch x dx = sh x + C
√ 1 x2 +1

sh x dx = ch x + C
1 1−x2

dx = argsh x = ln(x + √



x2 + 1) + C

dx = argth x =

1+x ln 1−x + C

dx = argch x = ln(x +

x2 − 1) + C

Prof:Jos Antonio Abia Vian

I.T.I. en Electricidad

132 – Matemticas I : C´lculo integral en IR a

11.2 M´todos de integraci´n e o

11.2
11.2.1

M´todos de integraci´n e o
M´todo de sustituci´n e o

Si F (x) es una primitiva de f (x) , entonces F (φ(x)) es una primitiva de la funci´n f (φ(x))φ (x), es decir, o f (φ(x))φ (x)dx = F (φ(x)) + C. En efecto, por la Regla de la cadena, (F(φ(x))) = f (φ(x))φ (x). Ejemplo Encontrar una expresi´n para o 4(x2 + 1)3 2xdx .

Soluci´n: o F (x) = x4 es una primitiva de f (x) = 4x3 y, si φ(x) = x2 +1 se tiene φ (x) = 2x . Luego F (φ(x)) = (x2 +1)4 es una primitiva de f (φ(x))φ (x) = 4(x2 + 1)3 2x. Es decir, 4(x2 + 1)3 2xdx = (x2 + 1)4 + C. Combinando este m´todo con la tabla de integrales inmediatas, podemos componer toda una tabla de eintegrales “casi inmediatas”: 11.2.1.1 Tabla de integrales casi–inmediatas (v(x))a v (x)dx = av(x) v (x)dx = (v(x))a+1 + C, a = −1 a+1 1 v (x)dx = ln |v(x)| + C v(x) cos(v(x))v (x)dx = sen(v(x)) + C 1 v (x)dx = tg(v(x)) + C cos2 (v(x)) 1 v (x)dx = arcsen(v(x)) + C 1 − (v(x))2 1 v (x)dx = arctg(v(x)) + C 1 + (v(x))2 ch(v(x))v (x)dx = sh(v(x)) + C 1 v (x)dx = th(v(x)) + C ch2 (v(x)) 1 v (x)dx =argth(v(x)) + C 1 − (v(x))2

av(x) +C ln a

sen(v(x))v (x)dx = − cos(v(x)) + C 1 sen2 (v(x)) −1 v (x)dx = − cotg(v(x)) + C

v (x)dx = arccos(v(x)) + C 1 − (v(x))2 −1 v (x)dx = arccotg(v(x)) + C 1 + (v(x))2 sh(v(x))v (x)dx = ch(v(x)) + C 1 (v(x))2 + 1 1 (v(x))2 − 1 v (x)dx = argsh(v(x)) + C v (x)dx = argch(v(x)) + C.

11.2.2
Sea

Cambio de variable

f (x)dx. Si x = φ(t) , con φ derivable y...
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