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Escuela de Educación Técnica N
°
°°
°
6
Prof. Lorena Laugero
Matemática – 3º año
Página 1
Inecuaciones con valor absolutoEl
valor absoluto
de un número real
a
se denota por
a
y está definido por:



−
=
a
a
a
si
si
0
0
<
≥
a
a
Propiedades
Si
a
y
b
son números reales y
n
es un númeroentero, entonces:
1 )
b
a
b
a
⋅
=
⋅
3 )
n
n
a
a
=
2 )
b
a
b
a
=
4 )
b
a
b
a
+
≤
+
La noción de
valor absoluto
surge de una manera natural en problemas de distan
cia. Enuna recta coordenada, sean A y B puntos con coorden
adas a y b. Debido a que la distancia es
siempre no negativa, la distancia
d
entre A y B es
a
b
d
−
=
cuando B está a la derecha de A(figura
a
), y
b
a
d
−
=
cuando B está a la izquierda de A (figura
b
).
En el primer caso,
a
b
−
es positiva, de modo que puede escribirse:
a
b
a
b
d
−
=
−
=
y en el segundocaso,
a
b
−
es negativa, de modo que puede escribirse:
a
b
a
b
b
a
d
−
=
−
−
=
−
=
)
(
Por lo tanto, independientemente de si B está a la
derecha o a la izquierda de A, la
distanciad
entre A y B es:
a
b
d
−
=
Para cualquier número real
b
puede escribirse:
0
−
=
b
b
Por lo tanto, el
valor absoluto
de un número b pude interpretarse geométricamente
como
sudistancia desde el origen
sobre una recta coordenada.
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°
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Prof. Lorena Laugero
Matemática – 3º año
Página 2
Por ejemplo, si
9
=
b
, entonces
b
está a 9unidades del origen, es decir
9
=
b
ó 9
−
=
b
.
Ejemplo 1:
Resolver
4
3
=
−
x
La solución desde el punto de vista geométrico cons
ta de todas las
x
que están a 4 unidades
del punto3. Hay dos de estos valores de
x
, 7
=
x
y 1
−
=
x
.
Desde el punto de vista algebraico, dependiendo de
si 3
−
x
es positiva o negativa, la
ecuación puede escribirse:
4
3
=
−
x...