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formas cuadráticas y ecuaciones diferenciales.




1. DEFINICIÓN DE VECTORES Y VALOR PROPIO.

 Vectores:
Un escalar es un valor propio si existe un vector no nulo; tal que, Cualquier vector no nulo que satisfaga, es un vector propio asociado con el valor propio.
La definición implica que para un vector propio el efecto de aplicarle la transformación lineal que amplificarlo por elescalar; implica que un vector y el vector transformado son colineales o paralelos y por lo tanto linealmente dependientes.
 Valor propio:
Se denominan valores propios o raíces características de una matriz cuadrada A, a los valores de λ tales que:
a 11 −λa 21 ...a n1
det(A−λE) = a 12 a 22 –λ...a n2 =0
... … …
a 1n a 2n a nn −λ

Desarrollando el determinante tenemos un polinomio de grado n en λ. Trataremos de encontrar los coeficientes del polinomio y luego, aplicaremos un método de hallar las raíces delpolinomio. Una vez hallados los valores propios, para hallar el vector propio X correspondiente al valor propio λ es necesario resolver el sistema homogéneo: AX=λX; donde el vector X es X= {x 1, x 2,...x n} Siempre podemos tomar x1 como 1, y hallar las otras n-1 incógnitas. De la n ecuaciones podemos tomar n-1, y resolver el sistema lineal.
(a 22 −λ)x 2 +a 23 x 3 +....+a 2n x n =−a 21
a 32 x 2 +(a 33−λ)x 3 +....+a 3n x n =−a 31
...............................................
a n2 x 2 +a n3 x 3 +....+(a nn −λ)x n =−a n1

2. POLINOMIO CARACTERÍSTICO.
Para cada matriz A de orden m se tiene que det(A - λI) es un polinomio de grado m que se llama polinomio característico de A y se denota por pA(λ). La ecuación det(A-λI) = 0 se llama ecuación característica de A.
Las relaciones que ligan lasentradas de una matriz con los coeficientes del polinomio característico son muy complicadas. No obstante, ciertos coeficientes de dicho polinomio son bien conocidos: el coeficiente líder, el siguiente y el término independiente.
Consideremos una matriz n-cuadrada arbitraria:

La matriz (A - •In), donde In es la matriz identidad n-cuadrada y  un escalar indeterminado, se denomina matrizcaracterística de A:

Su determinante, det (A - •In), que es un polinomio en , recibe el nombre de polinomio característico de A. Asimismo, llamamos a:
det (A - •In) = 0
Ecuación característica de A.

Ejemplo:
Hallar la matriz característica y el polinomio característico de la matriz A:

La matriz característica será (A - l•In). Luego:

y el polinomio característico,Así pues, el polinomio característico es l 2 - l + 4.

3. CALCULO DEL VECTOR PROPIO CORRESPONDIENTE A UN VALOR PROPIO.
Una vez que se conocen los valores propios λ, los vectores propios se pueden hallar resolviendo el sistema de ecuaciones homogéneo:

Una forma más sencilla de obtener vectores propios sin resolver un sistema de ecuaciones lineales se basa en el teorema de Cayley-Hamiltonque establece que cada matriz cuadrada satisface su propio polinomio característico. Así, si son los valores propios de A se cumple que:

Por lo que los vectores columna de son vectores propios de .
Ejemplo de matriz sin valores propios reales:
Un ejemplo de matriz sin valores propios reales es la rotación de 90 grados en el sentido de las manecillas del reloj:

Cuyo polinomiocaracterístico es y sus valores propios son el par de conjugados complejos i, -i. Los vectores propios asociados tampoco son reales.

Ejemplo:
Considérese la matriz

Que representa un operador lineal R³ → R³. Si se desea computar todos los valores propios de A, se podría empezar determinando el polinomio característico:


Y porque p(x) = - (x - 2)(x - 1)(x + 1) se ve que los valores...