Logaritmo

Logaritmo

[pic] Representación gráfica de logaritmos en varias bases:
el rojo representa el logaritmo en base e,
el verde corresponde a la base 10,
y el púrpura al de la base 1,7.
.

En matemática, el logaritmo de un número en una base determinada es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener el número. Es la función matemática inversa de la función exponencial.
Porejemplo, el logaritmo con base b de un número N es el exponente x al que hay que elevar esa misma base para que nos dé dicho número N.
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Introducción

Dado un número real (argumento x), la función logaritmo le asigna el exponente n (o potencia) a la que un número fijo (base b) se ha de elevar para obtener dicho argumento. Es la función inversa de la exponencial x = bn. Esta función seescribe como: n = logb x, lo que permite obtener n. Así, en la expresión 102 = 100, el logaritmo de 100 en base 10 es 2, y se escribe como log10 100 = 2.
Por ejemplo: [pic]
Se denomina logaritmo neperiano (ln) o logaritmo natural al logaritmo en base e de un número o resultado dado por el exponente.

Historia [editar]

El método de cálculo mediante logaritmos fue propuesto por primera vez,públicamente, por John Napier (latinizado Neperus) en 1614, en su libro titulado Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. Joost Bürgi, un matemático y relojero suizo al servicio del duque de Hesse-Kassel, concibió por vez primera los logaritmos, sin embargo, publicó su descubrimiento cuatro años después que Napier. La inicial resistencia a la utilización de logaritmos fue cambiada por Kepler, por elentusiasta apoyo de su publicación y la impecable y clara explicación de cómo funcionaban.
Este método contribuyó al avance de la ciencia, y especialmente de la astronomía, facilitando la resolución de cálculos muy complejos. Los logaritmos fueron utilizados habitualmente en geodesia, navegación y otras ramas de la matemática aplicada, antes de la llegada de las calculadoras y computadoras.Además de la utilidad en el cálculo, los logaritmos también ocuparon un importante lugar en las matemáticas más avanzadas; el logaritmo natural presenta una solución para el problema de la cuadratura de un sector hiperbólico ideado por Gregoire de Saint-Vincent en 1647.
Napier no usó una base tal como ahora se entiende pero, sus logaritmos, como factor de escala, funcionaban de manera eficaz con base1/e. Para los propósitos de interpolación y facilidad de cálculo, eran útiles para hallar la relación r en una serie geométrica tendente a 1. Napier escogió r = 1 - 10−7 = 0,999999 (Bürgi eligió r = 1 + 10−4 = 1,0001). Los logaritmos originales de Napier no tenían log 1 = 0, sino log 107 = 0. Así, si N es un número y L es el logaritmo, Napier calcula: N = 107(1 − 10−7)L. Donde (1 − 10−7)107 esaproximadamente 1/e, haciendo L/107 equivalente a log1/e N/107.

Definición analítica [editar]

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En la imagen se puede ver la representación gráfica del logaritmo neperiano, como también la representación de las rectas tangentes a la función en x = e (Te) y en x = 1 (T1).
Podemos introducir la función logarítmica como una función analítica que es de hecho la función primitiva de otrafunción analítica bien conocida. Para definir de esa manera el logaritmo empezamos con algunas observaciones:
1. La derivada de la función [pic]es [pic]. Al dividir ambos lados de la expresión entre "n" y observar el resultado, se puede afirmar que una primitiva de [pic]es [pic](con [pic]).
2. Este cálculo obviamente no es válido cuando m = − 1, porque no se puede dividir por cero. Por lotanto, la función inversa [pic]es la única función "potencia" que no tiene una primitiva "potencia".
3. Sin embargo, la función [pic]es continua sobre el rango [pic]lo que implica que tiene forzosamente una primitiva en este intervalo, y también sobre [pic].
A la función analítica cuya existencia se deduce de las observaciones anteriores la llamaremos función logaritmo, y la definiremos...