Logica matematica

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UNIDAD I: Conjuntos

CONCEPTO

Cualquier colección de objetos o individuos se denomina conjunto. Ejemplos de conjuntos son el conjunto de los números naturales, de los televisores de la ciudad de Córdoba y de los peces en los océanos. La teoría de conjuntos es fundamental en matemática y de suma importancia en informática, donde encuentra aplicaciones en áreas tales como inteligenciaartificial, bases de datos y lenguajes de programación.

LENGUAJE SIMBOLICO

En matemática existe un lenguaje simbólico que permite enunciar las definiciones y propiedades con toda exactitud y utilizando un mínimo de signos. Ese lenguaje es el siguiente:

□(█(=igual@≠no igual@∈pertenece@∉no pertenece@⊂incluido en@⊂no incluido en@∅ conjunto vacío@∀ para todo@x⁄x x tal que x@"" implica,entonces@"" si y sólo si@∪unión@∩intersección@∧y,conjunción lógica@∨o,disyunción lógica@mayor@≥mayor o igual@…))

CONJUNTO, PERTENENCIA y LENGUAJES (coloquial, simbólico y gráfico)

Un conjunto es una colección de elementos diferentes. Los objetos que integran un conjunto se llaman elementos de ese conjunto. Ejemplos de conjuntos son los siguientes:

El conjunto de los números enteros.
Elconjunto de los números naturales mayores que 5 y menores que 9.
El conjunto formado por los estudiantes de primer año de la Fa.M.A.F.
El conjunto formado por un punto P en el plano y las rectas que pasan por él.

En general usaremos letras mayúsculas para designar a los conjuntos y letras minúsculas para designar a sus elementos. Los símbolos N, Z, Q y R servirán para denotar a los siguientesconjuntos:

N: el conjunto de los números naturales.
Z: el conjunto de los números enteros.
Q: el conjunto de los números racionales.
R: el conjunto de los números reales.

Si a es un elemento de un conjunto A se escribe a ∈ A y se lee a pertenece a A o a es un elemento de A. Si a no es un elemento del conjunto A se escribe a A y se lee a no pertenece a A o a no es elemento de A.Si consideramos el siguiente conjunto: S = {a, e, i, o, u} podemos decir, por ejemplo:
que a pertenece al conjunto S. En símbolos: a  S.
que b no pertenece a S. En símbolos: b S.

Para definir un conjunto se utilizan dos llaves en las cuales se encierran sus elementos o la propiedad que lo caracteriza.

un conjunto está definido por extensión si enumeramos todos los elementos que loforman.
A= {1, 2, 3, 5, π}, U = {a, e, i, o, u}, M = {Talleres, Instituto ,Belgrano}.

Un conjunto está definido por comprensión si establecemos una propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto y sólo a ellos.
B = {x|x es impar y x ≥ 3}, C = {x|2≤ x ≤26 y x es potencia de 2}.

En algunos casos no se listan todos los elementos, pero se nombran los suficientes y se usan lospuntos suspensivos “... ”para sugerir los elementos faltantes:

B = {3, 5, 7, ... } C = {2, 4, ... , 25}.

Sin embargo esta forma de nombrarlos puede resultar ambigua. Por ejemplo, B podría ser el conjunto de los números impares, o podría ser el conjunto de los números primos mayores que 2. Del mismo modo, C podrían ser todos los pares entre 2 y 25 o bientodas las potencias de 2 comprendidas en el intervalo natural [2,25].

El orden en el cual se nombran los elementos de un conjunto es irrelevante, y los elementos se consideran una sola vez.

{1, 2, 3} = {3 , 2, 1} {a} = {a, a}.

Por otra parte, un conjunto se puede representar gráficamente mediante diagramas de Venn; éstos son curvas o polígonos cerrados, dentro de loscuales se indican mediante puntos los elementos que pertenecen al conjunto.
En el ejemplo:

Por extensión: A = {do, re, mi, fa, sol, la, si}.
Por comprensión: A = {x / x es nota musical}.

Una de las propiedades más útiles de los diagramas de Venn es que dan una forma gráfica de visualizar las relaciones entre conjuntos, por ejemplo, en la Figura representamos que todo elemento de B, es...
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