Logica Unab 2012

Rudimentos sobre L´gica Matem´tica o a
El capitulo Rudimentos sobre L´gica Matem´tica est´ destinado esencialmente a desarrollar t´cnicas, que o a a e permitan validar o refutar f´rmulas proposicionales a trav´s de procesos concretos y abstractos. Para ello o e se generar´ un proceso de validaci´n, con sustento en la definici´n de tablas de verdad y falsedad para las a o o operaciones l´gicasiniciales; conjunci´n, disyunci´n, implicaci´n (inferencia) y doble implicaci´n (equivaleno o o o o cia), para posteriormente dar origen a una base de datos que permita validar o negar proposiciones m´s a complejas (proposiciones compuestas), y finalmente prescindir de la estructura de ”tablas de verdad”, para validar en forma abstracta las proposiciones l´gicas. o 1. Proposiciones L´gicas o Parademostrar que una situaci´n es correcta o incorrecta, deben ocurrir algunas situaciones que aparenteo mente son tan naturales, que ni siquiera nos damos cuenta de su existencia. En efecto • Para demostrar la veracidad o falsedad de ”algo”, debe existir una situaci´n, la cual debe ser decidida o de acuerdo a ciertas claves enmarcadas en un sistema comprensible (l´gico) para los que est´n involuo acrados en el suceso. • Dicha situaci´n para ser infalible en su decisi´n, debe poseer dos y s´lo dos ”opciones de verdad”, es o o o decir, verdadera o falsa (cre´ ıble o no cre´ ıble). • La argumentaci´n total debe estar compuesta de una sucesi´n de estas situaciones las cuales interact´an o o u armoniosamente, ya sea para obtener un valor de verdad verdadero o un valor de verdad falso. Definici´n 1.1.Llamaremos proposici´n l´gica a una oraci´n declarativa que es verdadera o falsa, pero o o o o nunca ambas. ´ Ejemplo 1.1.1. p: Algebra es una asignatura anual de Ingenier´a Civil en la Universidad de Santiago de ı Chile Ejemplo 1.1.2. q: 23 = 6 Ejemplo 1.1.3. r: Colo Colo es el mejor equipo de f´tbol de Chile u Con toda seguridad, p y q son proposiciones l´gicas, porque existen formas biendefinidas que permiten coro roborar el valor de verdad de las mismas, y aunque pese, r en las actuales condiciones, no es una proposici´n o l´gica, pues no existe un proceso v´lido que permita decir que efectivamente ella es verdadera o falsa. o a Ejemplo 1.1.4. Si llamamos p(x) = x − 1 ∈ R[x] entonces para a ∈ R fijo podemos definir el ”conjunto” Sa = {x ∈ R | p(x) = a} En este ejemplo, podemos ”seg´nnuestra experiencia” tratar de determinar para ese a ∈ R, el conjunto Sa , u es decir tratar de decir quienes son los elementos de Sa , y por ende tambi´n decir quienes no son miembros e de Sa , para ello procedemos como sigue:
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´ ´ RUDIMENTOS SOBRE LOGICA MATEMATICA

x ∈ Sa ⇐⇒ x ∈ R ∧ p(x) = a ⇐⇒ x ∈ R ∧ x − 1 = a ⇐⇒ x ∈ R ∧ x = a + 1 Por tanto, tenemos que Sa = {a + 1}

(1) (2) (3)(4)

Despu´s del procedimiento observamos que: e [1] Para caracterizar los elementos de Sa es necesario, seg´n (1), realizar dos operaciones: Una saber u quienes son los elegibles o candidatos y la otra es verificar quienes de esos satisfacen el filtro, o hacen que la proposici´n l´gica sea verdadera, decir p(x) = a. o o [2] La etapa descrita en (2) es una operacionalizaci´n del filtro oproposici´n l´gica, es decir plantea la o o o ecuaci´n x − 1 = a o [3] La etapa descrita en (3) reduce el problema de pertenecer o no al conjunto, resolviendo en R la ecuaci´n o x=a+1 [4] Finalmente, (4) caracteriza, en este caso, al elemento del conjunto como a + 1, y por ejemplo para a = 0, tenemos que S0 = {1} y en este caso: 1 ∈ S0 pues es verdadero que p(1) = 0 2 ∈ S0 pues es falso que p(2) = 0 2.Generaci´n de Proposiciones y Tablas de Verdad o o o Definici´n 2.1. Si p es una proposici´n l´gica entonces le asociaremos una ”Tabla de verdad” de la forma: o p 1 0

(5)

donde, 1 representa el valor de verdad verdadero(encendido)y 0 representa el valor de verdad falso (apagado). Definici´n 2.2. Si p es una proposici´n l´gica entonces ∼ p representar´ la proposici´n negaci´n de p, y o o o a o...