Logica Y Conjuntos

1. Lógica y conjuntos
Prof. Pablo Celis Herrera
Instituto tecnológico de Chile
1.1 Enunciados y valor de verdad
La lógica es la rama del conocimiento que trata los métodos de razonamiento mediante reglas y técnicas, con el fin de determinar si un argumento dado es válido. El tema que nos ocupa es el de la lógica usada en matemática. Aquí trabajamos con elementos básicos llamados“proposiciones”.
Definición:
Una proposición es un enunciado u oración declarativa de la cual se puede afirmar que es falsa o verdadera, pero no ambas.
Definición:
La veracidad o falsedad de una proposición es lo que se llama su valor de verdad.
Ejemplo:
“Santiago es la capital de Chile”
Es una proposición. Puede notarse que su valor de verdad es verdadero, ya que sabemos con certeza que Santiago es lacapital de Chile.
Ejemplo:
“1 + 4 = 8”
Se lee “uno más cuatro es igual a ocho”, es una proposición con valor de verdad falso.
Ejemplo:
“¿Sabe usted Alemán?”
No es una proposición, ya que no es un enunciado declarativo sino interrogativo.
Ejemplo:
“Haga el aseo”
No es una proposición, ya que es un enunciado imperativo.
Postulados o axiomas y teoremas
Definición:
Un axioma o postulado esuna proposición inicial la cual se asume como verdadera. El conjunto de postulados de los cuales se desprenden las demás proposiciones de un sistema se llama conjunto de postulados del sistema. En éste, uno de los axiomas no debe ser deducible de los otros.
Ejemplo:
“dos rectas no pueden cortarse en más de un punto”
Axioma de la geometría euclidiana.
Definición:
Un Teorema es cualquierproposición que se desprende de otra proposición o proposiciones dadas por supuestas o previamente demostradas dentro del sistema. Así, un teorema es una proposición cuya veracidad requiere ser demostrada a partir de otras.
Ejemplo:
“Si dos lados de un triangulo son congruentes, entonces los ángulos opuestos a estos lados son congruentes”
Teorema que se demuestra a partir de otras proposiciones.
1.2Proposiciones simples y compuestas
Así como en matemática
Se utilizan las variables literales x, y, z para denotar números reales
Estas pueden combinarse mediante operaciones para formar variables más complejas
En lógica
Se utilizan las variables literales p, q, r para denotar proposiciones
Estas pueden combinarse mediante conectivos lógicos para formar variables más complejas
Ejemplo:
Lavariable proposicional p puede remplazarse por la proposición
“Carlomagno fue emperador franco”
P: Carlomagno fue emperador franco
y la variable proposicional q puede remplazarse por la proposición
“Está lloviendo”
q: Está lloviendo
Definición:
Los conectivos lógicos son símbolos usados para combinar proposiciones
dadas, produciendo así otras llamadas proposiciones compuestas.
Obs.: Lasproposiciones p y q que se combinan para formar proposiciones compuestas
se llaman proposiciones simples.





La negativa
La conjuntiva
La disyuntiva inclusiva
La disyuntiva exclusiva
La condicionante
La bicondicionante

Los conectivos fundamentales usados en este curso son
a) La negación
p  p
V F
F V
La negación de una proposición da origen a una nueva proposición convalor de
verdad opuesto, es decir, si p es verdadera, la negación de p es falsa. Se
escribe  p y se lee no p.
Ejemplo:
p: “El árbol es alto”
p: “El árbol no es alto”

Definición:
“no es verdad que el árbol es alto”
El arreglo que nos permite tener todos los posibles valores de verdad de una
proposición compuesta a partir de los valores de verdad de las proposiciones
componentes se llamauna tabla de verdad.
Así, la tabla de verdad para la negación de p está dada por:
Ejemplo:
p: 2 + 5 > 3 Es verdadera
 p: no es verdad que 2 + 5 > 3 Es falsa

b) La conjunción
p q p  q
V V V
V F F
F V F
F F F
La conjunción es la proposición compuesta que resulta de conectar dos
proposiciones p y q mediante la conjuntiva ( ). Esta proposición se denota por
p q y se lee “p y q”....