logica y demostracion

INTRODUCCION

La lógica y sus reglas le dan un significado preciso a los enunciados o sentencias matemáticas, estas reglas se utilizan para distinguir entre argumentos válidos y no válidos, la lógica tiene numerosas aplicaciones en las ciencias de la computación y sus reglas se usan en el diseño de circuitos de ordenador, construcción de programas y verificación.
La lógica es muy importante;ya que permite resolver problemas utilizando solamente la inteligencia y apoyándose de algunos conocimientos acumulados, se pueden obtener nuevos inventos innovaciones a los ya existentes o simplemente utilización de los mismos.
En matemáticas no se acepta una proposición como verdadera hasta que se construye su demostración formal, aunque la proposición sea válida para un número finito decasos no significa que sea válida para todo el universo.
La demostración es un razonamiento o serie de razonamiento que prueba la validez de un nuevo conocimiento estableciendo sus conexiones necesarias con otros conocimientos, permite explicar unos conocimientos por otros y por tanto es una prueba rigurosamente racional. La demostración es el enlace, entre los conocimientos recién adquiridos y elconjunto de los conocimientos anteriores.
















LOGICA
PROPOSICIONES
Una proposición o enunciado es una oración que puede ser falsa o verdadera pero no ambas a la vez. La proposición es un elemento fundamental de la lógica matemática.
Ejemplo:
a. Ibagué es la capital del Tolima
b. 2+3=8
c. La tierra es plana
d. 5+5=10
Las proposiciones 1 y 4 son correctasmientras que las 2 y 3 son falsas
Ejemplo:
a. ¿Qué estás haciendo?
b. Mira el cielo
c. W + Y = 15
d. 9 + Z = 20
Las frases 1 y 2 no son proposiciones porque son declarativas.
Las frases 3 y 4 no son proposiciones porque no son ni verdaderas ni falsas ya que no se les ha dado un valor a las variantes.
Para denotar proposiciones usamos letras, por convenio las letras utilizadas son p, q, r, s….el valor de verdad de una proposición; si es verdadera se denota V y si es falsa F.
El cálculo proposicional o la lógica proposicional es el área de la lógica que trata las proposiciones y fue desarrollada por el filósofo griego Aristóteles.
Se pueden producir proposiciones nuevas a partir de las ya existentes, estas nuevas proposiciones se llaman formulas o composiciones compuestas y se formanusando operadores lógicos.
Definición
Sea p una proposición. El enunciado

Es otra proposición llamada la negación de p
Se denota ¬ p
Y se lee


Ejemplo:
Obtener la negación de

Solución:

De manera más simple:

Una tabla de verdad, es una tabla que muestra el valor de verdad de una proposición compuesta, para cada combinación de valores de verdad que se puedaasignar a sus componentes.
La negación se puede considerar como el resultado de aplicar el operador negación sobre una proposición.

Tabla de verdad para la Negación
p ¬p
V F
F V

Existen conectivos lógicos que permiten formar proposiciones compuestas (formadas por varias proposiciones).

Definición:
Sean p y q proposiciones, la proposición denotada por pq es la proposición que esverdadera cuando ambas proposiciones lo sean y falsas en caso contrario, y se llama conjunción de p y q.
Ejemplo.
Conjunción de p y q
p: hoy es jueves
q: hoy llueve
Solución: la conjunción de estas dos proposiciones . La proposición será verdadera los días jueves de lluvia de lo contrario será falsa

Tabla de verdad para la conjunción.
p q p  q
V V V
V F F
F V F
F F F

Definición:Sean p o q proposiciones, la proposición denotada por pVq es la proposición que es falsa cuando ambas proposiciones lo sean y verdadera en caso contrario, y se llama disyunción de p y q.
Tabla de verdad para la disyunción.
p q p v q
V V V
V F V
F V V
F F F

Definición:
Sean p o q proposiciones, la proposición denotada por p v q es la proposición que solo será verdadera cuando las dos...