Logica

Cuantificadores
La definición de Cuantificadores comprende cálculos matemáticos, que vinculan una serie de variables. De este modo, se habla de un Cuantificador el cual consiste en convertir un enunciado abierto en proposición.
Enunciado abierto:
• Es aquel enunciado (frase u oración) que incluye una o varias variables, y de acuerdo a la que emplee podrá ser falso o verdadero.
• Es aquellaexpresión que tiene al menos una variable la que al ser reemplazada por constantes transforma el enunciado abierto en una proposición.
• Si empleamos x como variable, un enunciado abierto se representa así: p(x), lo que leemos como " p de x”.

Sea el enunciado abierto:
P(x) = x +1 es un número múltiplo de 2
Ahora damos valores a x:
• Si x = 3, P (3) = 3 + 1 = 4 "4 es múltiplo de 2",proposición verdadera.
• Si x = 4, P (4) = 4 + 1 = 5 "5 es múltiplo de 2", proposición falsa.
• Si x = 5, P (5) = 5 + 1 = 6 "6 es múltiplo de 2", proposición verdadera.
Al enunciado abierto también se le llama Función Proposicional.

Cuantificación Universal ( )
El enunciado abierto es p(x): "x + 1 es un número múltiplo de 2 "; si cuantificamos universalmente escribimos:
• " todo x + 1 es un númeromúltiplo de 2 "
• " para todo x + 1 es un número múltiplo de 2 "
• " para cualquier x + 1 es un número múltiplo de 2 "
Esta ya es una proposición pero FALSA porque hay números x + 1 que no necesariamente son múltiplos de 2.
“significa "para todo", "todo" o "para cualquier"
El cuantificador universal se utiliza para afirmar que todos los elementos de un conjunto cumplen con una determinadapropiedad. Por ejemplo:
.
Esta afirmación suele usarse como la equivalente de la proposición siguiente:



El cuantificador universal indica que algo es cierto para todos los individuos
Sea A una expresión y sea x una variable. Si deseamos indicar que A es verdadero para todos los posibles valores de x, escribiremos ( x) A.
• ( x) es cuantificador universal
• A es el ámbito (alcance) delcuantificador.
• El símbolo se lee “para todo”.

Cuantificación Existencial ( )
El enunciado abierto es p(x): "x + 1 es un número múltiplo de 2 "; si cuantificamos existencialmente escribimos:
• " Existe por lo menos un número x + 1 es un múltiplo de 2”
Esta ya es una proposición aunque ahora si VERDADERA porque por lo menos existe un número que reemplazado por x en x + 1 nos da unmúltiplo de 2.
$ significa "existe por lo menos" o "existe"
El cuantificador existencial se usa para indicar que hay uno o más elementos en el conjunto (no necesariamente único/s) que cumplen una determinada propiedad. Se escribe:
.
Esta proposición suele interpretarse como la equivalente de la proposición siguiente:


Cuando el argumento no se fundamenta en las relaciones conectivasentre las proposiciones como un todo, sino en el análisis de las proposiciones, se hace necesaria la ampliación del cálculo lógico como son, ahora, las reglas de cuantificación, para el cálculo cuantificacional. La cuantificación permite explicitar el ámbito de aplicación de un predicado a un sujeto o
Conjunto de sujetos. Por lo que el cálculo según este modo de análisis de la proposición se conocecomo “cálculo de predicados”.
Uso de Cuantificadores
Las expresiones: Todo hombre es mortal. Algunos hombres son sabios. Pueden traducirse respectivamente como:
Para todo x, si x es hombre entonces x es mortal.
Existe un x, tal que x es hombre y x es sabio.
Otros giros utilizados para la expresión "para todo x", son:
Todo x
Cualquiera x
Cada x
que se simbolizan por " x" y se llamacuantificador universal.
Otros giros utilizados para la expresión "Existe un x" son:
Hay x
Existe x, tal que
Algún x
Algunos x
Que se simbolizan por " x" y se llama cuantificador existencial.
Existen tres formas de convertir una función proposicional Px en una proposición a saber:
•Haciendo la sustitución de las variables por un término específico.
•Anteponiendo la expresión "para todo x" o...