Logica

Tema
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Lógica

1.1.- LÓGICA PROPOSICIONAL

La lógica proposicional trata sobre propiedades y relaciones entre unos ciertos objetos concretos. Por el contrario, queda fuera de su alcance la cuantificación (es decir, no puede expresar cuántos objetos cumplen una determinada condición). Por ello, para empezar necesitaremos las siguientes herramientas

SÍMBOLOS DE CONSTANTESUn símbolo de constante debe denotar un objeto existente. Si bien un mismo símbolo de constante no puede denotar a dos objetos distintos, sí se permite que un mismo objeto pueda representarse por dos símbolos de constante distintos.

PROPIEDADES Y RELACIONES

Vendrán dados por unos símbolos de predicado. Cada símbolo de predicado viene con una –aridad determinada, un número que indicacuantos nombres son necesarios para formar una propiedad o relación entre objetos (una sentencia atómica). Este predicado se corresponde con una relación de la misma aridad.

Una sentencia atómica se forma poniendo n nombres a continuación de un predicado n-ario o usando dos nombres unidos por el símbolo =.

El orden de los nombres dentro de una sentencia atómica es fundamentalEJEMPLO

Imaginemos que estamos interesados en dos personas, Juan y Luis, y nos interesa hablar de si son altos o de si son hermanos. Para ello necesitamos:
a) Dos símbolos de constante para referirnos a Juan y Luis. Llamaremos J a Juan y L a Luis
b) Dos símbolos de predicado para hablar de ser alto y de ser hermanos. Pondremos Alt(-) y Her(-,-) para estos predicados. Observemos que Alt(-)es un predicado 1-ario, porque para saber si alguien es alto basta saber a quién nos referimos; por el contrario, Her(-,-) es 2-ario porque se necesita saber a qué dos personas nos referimos para saber si son hermanos.
c) Ahora propiedades como “Luis es alto” lo escribiremos como Alt(L). La relación “Luis es hermano de Juan” la escribimos Her(L,J).

Una forma gráfica de representar lainformación anterior es la siguiente.
1.-Elegiremos una letra para cada objeto, como antes. Dichas letras las representaremos por círculos.
2.- Al lado de cada círculo incluiremos la información que dispongamos de las propiedades 1-arias. En nuestro caso, al lado del círculo L escribiremos Alt.
3.- Para indicar la relación Her(L,J) pondremos una flecha que empieza en L ytermina en J. Esta flecha llevará la etiqueta Her.

Esta representación es posible siempre que las relaciones sean, como mucho, 2-rias. Para simplificar la representación podemos incluir algunas convenciones:
Elegiremos una letra mayúscula que sustituya cada una de las relaciones 1-arias. En nuestro caso podemos poner P=Alt
Elegimos una letra (o un color) para cada relación2-aria. En nuestro caso, vamos a sustituir la relación Her por flechas de color negro.

Con estas convenciones, la información anterior queda como:

Observemos que, del diagrama anterior, no se puede sacar directamente información tal como que J no tiene la propiedad P, lo único que podemos afirmar es que no sabemos si la tiene o no.

Otra observación a fin de saberinterpretar correctamente estos diagramas es que del hecho de que haya dos círculos no se puede deducir que hay dos objetos distintos, en efecto, recordemos que un mismo objeto puede estar representado por más de un símbolo de constante y, por tanto, por más de un círculo.

Por comodidad, a veces sustituiremos las sentencias atómicas por letras mayúsculas.

Estas propiedades o relacionesentre objetos no vendrán aisladas, sino que habrá unas ciertas conexiones entre ellas. En castellano suelen venir dadas por las conjunciones, de las que hay muchas. Nosotros necesitaremos también algo similar, a lo que llamaremos conectivos.

A partir de ahora, dada una proposición P de la que sepamos si es verdadera o falsa, escribiremos P = 1 para indicar si es verdadera y P = 0 si es...