logica

TEORIA AXIOMATICA DE CONJUNTOS Versio´n Preliminar
Renato A. Lewin
Author address:
Pontificia Universidad Cat´olica de Chile, Facultad de Matem´aticas, Casilla 306 - Correo 22, Santiago CHILE. e-mail: rlewin@mat.puc.cl

Indice
CAPITULO 1. Introducci´on. Los Axiomas de Zermelo Fraenkel 5 1. El Lenguaje Formalizado L 7 2. Los Axiomas de la Teor´ıa ZF. Conceptos Fundamentales 9 CAPITULO 2.Teor´ıa Elemental 17 1. Operaciones 17 2. Relaciones 23 3. Funciones 30 4. Relaciones de Equivalencia 40 5. Relaciones de Orden 44
CAPITULO 3. Ordinales 57 1. Nu´meros Naturales 57 2. Ordinales 64 3. Inducci´on Transfinita 70 4. Recursi´on 72 5. Funciones Normales 75 6. Ordinales y Buenos Ordenes 78 7. Aritm´etica Ordinal 80 8. La Jerarqu´ıa Acumulativa de Conjuntos 101
CAPITULO 4. El Axioma deElecci´on 105 1. Equivalencias del Axioma de Elecci´on 105 2. Aplicaciones 111
CAPITULO 5. Cardinales 117 1. Definiciones y Resultados B´asicos 117 2. Conjuntos Finitos y Conjuntos Infinitos 125 3. Aritm´etica Cardinal 129 4. Cardinales Regulares y Singulares 144 5. La Hip´otesis del Continuo 146
Bibliograf´ıa 151
Glosario 153
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CAPITULO 1
Introducci´on. Los Axiomas de Zermelo Fraenkel
Estelibro trata sobre los conjuntos. Intuitivamente un conjunto es una colecci´on (clase, agregado, conglomerado, etc.) de objetos, los que pertenecen a (forman parte de, son los elementos de, etc.) el conjunto. En toda teor´ıa axiom´atica debemos partir de t´erminos que no podemos definir para no correr el riesgo de caer en un c´ırculo vicioso. Tal es el caso de los conceptos de conjunto y pertenenciadentro de la Teor´ıa de Conjuntos. Todas nuestras intuiciones descansan sobre la idea intuitiva que tengamos sobre estos conceptos primitivos, sin embargo, para el desarrollo de la teor´ıa no es necesario contar con estas intuiciones. Una teor´ıa axiom´atica es un modelo formal de una realidad que queremos estudiar. Est´a compuesta por axiomas, o sea, oraciones a partir de las cuales, usando s´oloreglas l´ogicas, podamos obtener todas las propiedades de aquello que queremos modelar. Los axiomas tratan de establecer las caracter´ısticas y propiedades esenciales de los objetos que estamos tratando de describir en nuestro modelo. El ideal ser´ıa en primer lugar que los axiomas modelaran las intuiciones que tenemos de la realidad y en segundo lugar que la lista fuera completa, es decir, quetodas y s´olo aquellas propiedades de los objetos a describir se puedan obtener a partir de nuestra lista. Diversas teor´ıas axiom´aticas de conjuntos han logrado en mayor o menor grado el segundo de estos objetivos. El primero en cambio, obtener todas las propiedades de los conjuntos a partir de un sistema de axiomas, no se ha logrado. El motivo de ´esto es muy sencillo: no se puede. En efecto, losresultados obtenidos por el l´ogico Kurt G¨odel alrededor de 1930, demuestran que es imposible dar una axiomatizaci´on completa de la Teor´ıa de Conjuntos. Lo mismo es cierto de otras teor´ıas matem´aticas como la teor´ıa de nu´meros. Lo anterior parece condenar nuestro proyecto al fracaso, sin em- bargo ´esto no es as´ı, s´olo nos advierte que el ideal es imposible. De he- cho numerososmatem´aticos han logrado establecer teor´ıas axiom´aticas que, si bien no completas, son suficientes para construir en ellas casi toda la matem´atica. Estudiaremos una de ellas en estas p´aginas, a saber, la teor´ıa de Zermelo–Fraenckel, ZF, desarrollada a partir del
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trabajo de E. Zermelo el primero en proponer una teor´ıa en los primeros an˜os de este siglo. Un conjunto est´a definido por los objetosque contiene. Nuestra intuici´on nos dice que a cada conjunto corresponde una propiedad, es decir, aquello que caracteriza a sus elementos, por ejemplo al conjunto formado por los nu´meros 1,2,... ,99, le corresponde la propiedad “ser nu´mero entero mayor que cero y menor que cien”. A la inversa, a toda propiedad le debe corresponder un conjunto, la colecci´on de todos los objetos que verifican...