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MOISES VILLENA

Análisis Vectorial

7
7.1. 7.1. 7.2. 7.2. 7.3. 7.3. 7.4. 7.4. 7.5. 7.6. 7.7. CAMPOS VECTORIALES EN n DEFINICIONES PROPIEDADES CAMPOS VECTORIALES CONSERVATIVOS INTEGRALES DE LÍNEAS TEOREMA DE GREEN INTEGRAL DE LÍNEA PARA EL ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA 7.8. INTEGRALES DE SUPERFICIE
INTEGRALES DE SUPERFICIES FUNCIONES ESCALARES. 7.8.2 TEOREMA DE STOKES 7.8.3 INTEGRALES DE FLUJO7.8.4 TEOREMA DE GAUSS Objetivos.
Se persigue que el estudiante: • Calcule integrales de línea. • Aplique el Teorema de GREEN. • Calcule el área de regiones planas empleando integrales de líneas. • Calcule integrales de Superficie. • Aplique el Teorema de Stokes. • Aplique el teorema de Gauss

7.8.1

DE

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Análisis Vectorial

En el capítulo de funciones de variablesse definió funciones vectoriales generales de la forma de la forma

F :U ⊆ F :U ⊆ n → n

n



m

, ahora trataremos con funciones

7.1. CAMPOS VECTORIALES EN Sean f1 , f 2 , , fn las variables x1, x2 ,

n

funciones escalares de , xn definidas en una
n

región Ω de n . La función F : U ⊆ tal que F = ( f1 ( x x , , x ) , f 2 ( x x , , x ) , , f n ( x x , llama Campo vectorialsobre Ω .
1, 2 n 1, 2 n 1, 2



n

, xn )

) se

Si Si

F :U ⊆

2



2

se lo denota como

F = ( M ( x, y ) , N ( x, y ) ) .

F : U ⊆ 3 → 3 se lo denota como: F = ( M ( x, y , z ) , N ( x, y , z ) , P ( x, y , z ) )
Ejemplo
F :U ⊆
2



2

tal que F = 2 x + y, x 2 − y 2

(

)

Algunos ejemplos físicos comunes de campos vectoriales son: • Campos develocidades • Campos gravitacionales. • Campos de fuerzas eléctricas. Un campo conocido es el Gradiente, Si llamamos el vector

∇f , de una función escalar f . ⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞ ∇ = ⎜ , , ⎟ , operador NABLA, podemos ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠

obtener la definición del gradiente y otras definiciones más.

7.2 DEFINICIONES Sea f una función escalar y F = ( M , N , P ) un campo vectorial. Se define: 1. El gradiente de f comoel vector

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⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞ ⎛ ∂f ∂f ∂f ⎞ ∇f = ⎜ , , ⎟ f = ⎜ , , ⎟ ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ 2. La Divergencia de F como ⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞ ∇ • F = ⎜ , , ⎟ • (M , N, P) ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠

∂M ∂N ∂P + + ∂x ∂y ∂z 3. El rotacional de F como el vector i j k ∂ ∂ ∂ ∇× F = ∂x ∂y ∂z M N P 4. El Lapalciano de f como ⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞ ⎛ ∂f ∂f ∂f ⎞ ∇ 2 f = ∇ • ∇f = ⎜ , , ⎟ • ⎜ , , ⎟ ⎝∂x ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ = ∂2 f ∂2 f ∂2 f = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z

7.3 PROPIEDADES Sea f una función escalar y sean F y G campos vectoriales. Entonces: 1. ∇ • F + G = ∇ • F + ∇ • G

( ) 2. ∇ • ( f F ) = f ( ∇ • F ) + ( ∇f ) • F 3. ∇ × ( f F ) = f ( ∇ × F ) + ( ∇f ) × F 4. ∇ • ( F × G ) = ( ∇ × F ) • G + ( ∇ × G ) • F
5. ∇ × ( ∇f ) = 0 6. ∇ • ∇ × F = 0

(

)

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7. ∇ × ∇f + ∇ × F = ∇ × ∇ × F
Las demostraciones de estas propiedades se la dejamos al lector.

(

)

7.4 CAMPOS VECTORIALES CONSERVATIVOS Un campo vectorial F se dice que es conservativo si existe alguna función diferenciable f tal que F = ∇f . La función
f se llama función potencial de F .

7.4.1 Teorema. Un campo vectorial F es conservativo y si sólo si ∇ × F = 0 .Ejemplo 1
Determine si F = ( 2 xy, x 2 − y ) es conservativo. En caso de serlo encuentre la función potencial.
SOLUCIÓN: El rotacional de F sería:

i ∂ ∇× F = ∂x M

j ∂ ∂y N

k i ∂ ∂ = ∂z ∂x P 2 xy

j ∂ ∂y x2 − y

k ∂ = ( 0, 0, 2 x − 2 x ) = ( 0, 0, 0 ) ∂z 0

Por tanto, F si es conservativo. Note que para campos de
2

, basta que

∂N ∂M = para ser conservativos. ¿Por qué?. ∂x ∂yCuando el campo es conservativo la función potencial existe y además:

⎛ ∂f ∂f ⎞ F = ∇f = ⎜ , ⎟ = ( 2 xy, x 2 − y ) ⎝ ∂x ∂y ⎠
Es decir conocemos las derivadas parciales de la función potencial, entonces:

∂f = 2 xy ⇒ f = ∂x

∂f = x2 − y ⇒ f = ∂y

Haciendo superposición de soluciones, la función potencial sería:

∫ ∫(

2 xy dx ⇒ f ( x, y ) = x 2 y + g ( y ) + C1

x 2 − y ) dy ⇒ f...
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