Longitud de arco

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“CALCULO DE LONGITUD DE ARCO”
La longitud de arco, también conocida como rectificación de una curva, es la medida del camino recorrido o la distancia a lo largo de una curva o dimensión lineal. Sellego a la conclusión históricamente que es difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; se llevaron acabo varios métodos para curvas especificas, la llegada del cálculo trajo consigo laformula general para lograr obtener soluciones cerradas para algunos casos.

*METODOS MODERNOS
Al considerar una curva definida por una función y su respectiva derivada que son continúas en unintervalo [a, b], la longitud S del arco delimitado por a y b es dada por la ecuación:

En el caso de una curva definida paramétricamente mediante dos funciones dependientes de t como e , lalongitud del arco desde el punto hasta el punto se calcula mediante:

Si la función está definida por coordenadas polares donde la coordenadas radial y el ángulo polar están relacionados mediante , lalongitud del arco comprendido en el intervalo , toma la forma:

Se encuentra en la mayoría de los casos que no hay soluciones cerradas disponibles y es necesario usar métodos de integraciónnumérica. Por ejemplo, aplicar la formula a la circunferencia de una eclipse tendrá que llevarse acabo una integral elíptica de un segundo orden.
Entre las curvas con soluciones cerradas están lacatenaria, el círculo, la cicloide, la espiral logarítmica, la parábola, la parábola semicubica y la línea recta.

*DEDUCCION DE LA FORMULA PARA FUNCIONES DE UNA VARIABLE
Supongamos que tenemos una curvarectificable cualquiera, regida por una función , y supongamos que queremos aproximar la longitud del arco de curva S que va desde un punto a a uno b. Con este propósito podemos diseñar una serie detriángulos rectángulos cuyas hipotenusas concatenadas "cubran" el arco de curva elegido tal como se ve en la figura. Para hacer a este método "más funcional" también podemos exigir que las bases de...
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