Lopital

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talRegla de L'Hôpital Este método nos permite calcular ciertos límites que con los procedimientos estudiados ln ( x − 1) anteriormente no era posible resolver. Por ejemplo lim en los que tanto el numerador x →2 x−2 como el denominador tienden a cero cuando x tiende a 2. El siguiente teorema llamado Regla de L'Hôpital proporciona el instrumento adecuado para la evaluación de tal tipo de límites.Regla de L'Hôpital para el caso

0 0

Teorema 1 Sean f y g funciones derivables (y por tanto continuas) en el intervalo

lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0 , con c ∈ [ a , b ] y g ' ( x ) ≠ 0 para x ∈ [ a , b ] .
x →c

[ a ,b ]

y tales que

Si lim
x →c

f '( x) f ( x) = L, entonces lim =L x →c g ( x ) g '( x)
x →c

x →c

También, si lim

f '( x) f ( x) = ∞ entonces lim =∞ x →c g( x ) g '( x)

Nota: Si f ' ( c ) = g ' ( c ) = 0 y las derivadas f ' ( x ) y g ' ( x ) satisfacen las condiciones que se

especificaron para las funciones f y g, según la hipótesis de el teorema de la Regla de L'Hôpital, entonces puede aplicarse de nuevo la Regla de L'Hôpital, obteniéndose que: f '( x) f '' ( x ) lim = lim x →c g ' ( x ) x → c g '' ( x )
Teorema 2 Sean f y g funcionesderivables, (y por tanto continuas), en un intervalo [ h , + ∞[ , donde h es una

constante
x →+∞

positiva.
x →+∞

Sea
x →+∞

g '( x) ≠ 0

para

Si lim f ( x ) = 0 y lim g ( x ) = 0 y si lim Además, si lim

x → +∞

f ' (x ) f (x ) = ∞ entonces lim =∞ x → +∞ g ( x ) g ' (x )

f '( x) f ( x) = L entonces lim =L x →+∞ g ( x ) g '( x)

x ∈[ h , + ∞ [ .

El teorema también es válidocuando se sustituye x → +∞ por x → −∞

Regla de L'Hôpital para el caso

∞ ∞

Teorema 3 Sean f y g funciones derivables (y por tanto continuas) para todos los valores en un intervalo abierto I, excepto cuando x = a, ( a ∈ I ) . Si para x ≠ a , g ' ( x ) ≠ 0 se tiene que:
lim f ( x ) = ∞ y lim g ( x ) = ∞ .
x→a

Si lim
x →a

f '( x) f ( x) = k , entonces lim =k x →a g ( x ) g '( x)x→a

x →a

También, si lim

f ' (x ) f (x ) = ∞ entonces lim =∞ x→a g (x ) g ' (x )

Teorema 4 Sean f y g funciones derivables, en un intervalo [ h , + ∞ [ , donde h es una constante positiva. Sea g ' ( x ) ≠ 0 para x ∈ [ h , + ∞ [ . f ' (x ) f (x ) Si lim f ( x ) = ± ∞ y lim g ( x ) = ± ∞ y si lim = L , entonces el lim =L x → +∞ g ' ( x ) x → +∞ g ( x ) x → +∞ x → +∞ f ' (x ) f (x ) Además,si lim = ∞ entonces lim =∞ x → +∞ g ' ( x ) x → +∞ g ( x )

El teorema también es válido cuando se sustituye x → +∞ por x → −∞ ∞ 0 o 0 ∞

Limites que se indefinen pero que se pueden llevar a la forma

1. Límites que presentan la forma 0 ⋅ ∞ Si lim f ( x ) = 0 y lim g ( x ) = ∞ entonces el lim[ f ( x )g (x )] puede designarse por la forma 0 ⋅ ∞ x→ a
x →a x →a

que no coincide con ningunade las expresiones en las que es posible aplicar la Regla de L'Hôpital. Sin embargo, es posible hacer transformaciones algebraicas de manera que se obtengan las 0 ∞ ó , como sigue: formas 0 ∞ f (x ) 0 cuando x → a 1. lim[ f ( x )g ( x )] = lim 1 y se tiene x→a x→a 0 g( x)
g (x ) lim[ f ( x )g ( x )] = lim 1 y se tiene ∞ cuando x → a 2. x →a x→a ∞ f ( x)

En estos dos casos sí es posible aplicarlos teoremas de la Regla de L'Hôpital.

2. Límites que presentan las formas 0 0 , ∞ 0 y 1∞ g (x ) Si en el lim[ f ( x )] se tiene que:
x→a

1. lim f ( x ) = 0 y lim g ( x ) = 0 2. lim f ( x ) = ∞ y lim g ( x ) = 0 3. lim f ( x ) = 1 y lim g ( x ) = ∞
x→a x→a x→a x→a

x→a

x →a

Entonces dicho límite presenta las formas 0 0 , ∞ 0 y 1∞ respectivamente. Para calcular este tipo de límitesse sigue el siguiente procedimiento: Consideremos la igualdad y = [ f ( x )] , tomando logaritmo natural a ambos lados de ella se tiene: ln y = g ( x )[ln f ( x )] . Note que en la expresión g ( x )[ln f ( x )] presenta en todos los casos la forma 0 ⋅ ∞ . Los límites en que presentan esta forma indeterminada fueron estudiados anteriormente. Tenemos entonces que:
g (x)

lim ln y = lim g ( x...
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