Loquita

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ECUACIONES DIFERENCIALES
1) Solución Analítica
¿Qué es una ecuación diferencial?
Ö Toda

ecuación que establece la dependencia de una variable respecto a otra u otras involucrando derivadas es una ecuación diferencial

Ejemplos: 1) Los puntos (x,y(x)) de la curva que refleja en forma paralela los rayos que salen de un punto fijo en el origen
dy dx

=

−x ! x 2 +y 2 y

2) El voltajev(t) en el capacitor del circuito de la figura siguiente R
to + Vs(t) + C v(t) -

dv(t) dt

1 + RC v(t) = V s (t)

3) La temperatura T(t) de un cuerpo expuesto a un ambiente cuya temperatura es Ta
dT dt

= k(T − T a )
- ED1 -

... etc.

Otros Ejemplos: 4) y’’ + 2y’ = sen(x) 5) 6) y’’ + 2y’ = 0 y’ + p(x)y + q(x)y2 = f(x) (Ecuación de Riccati) Ejemplo: 7) y’ +x2y2 = x3-1 x +e −tsen(t) x= 1 y = xy’ + y(y’) (Ecuación de Clairaut) Ejemplo: 10) y = xy’- (y’)2
$$ $

8) 9)

11) ¹r + ¹r − 2xy ¹r = 1 ¹x ¹y ¹z

Ö Una

ecuación diferencial (ED) puede ser:

Ordinaria.- Cuando no contiene derivadas parciales. En general tiene la forma: F(x,y,y’,y’’,...,y(n))=0 (12) Y representa la dependencia de la variable (y) respecto a una sola variable independiente (x). (Ejemplos 1 al10). Parcial.- Cuando contiene derivadas parciales. En este caso representa la dependencia de una variable respecto a varias variables independientes. (Por ejemplo, la ecuación (11) describe la dependencia de r respecto de x, y y z).
- ED2 -

de orden n.- Cuando el orden de derivación más alto que aparece en la ecuación es n. Así, el ejemplo (1) es una ecuación diferencial ordinaria (ODE) deorden 1, mientras que el (5) es una ODE de orden 2. de primer orden.- Cuando es de orden 1. En este caso, la forma general es F(x,y,y’)=0 (13) y cobra importancia la forma y’=f(x,y) (14) denominada resuelta respecto a la derivada. de grado n.- Cuando el grado máximo de elevación a potencia de la derivada es n. Por ejemplo, la ecuación de Clairaut (10) es de segundo grado, pero de primer orden.Lineal.- Es una ODE de la forma: (15) Donde los coeficientes a1(t),...,an(t) son funciones continuas de t. Ejemplos: ecuaciones del (2) al (5) y la (8). Lineal con coeficientes constantes.- Es una ED lineal donde los coeficientes de las derivadas (las funciones a1(t),...,an(t)) son constantes. Ejemplos del (2) al (5). Lineal con coeficientes variables.- Enfatiza el hecho de que al menos una de lasfunciones a1(t),...,an(t) NO es constante.
- ED3 -

No lineal.- Es cualquier ED que NO se puede escribir de la forma (15). Ejemplos (1), (6), (7), (9) y (10) Lineal Homogénea.- Es una ED lineal cuyo término independiente φ(x) es cero. Ejemplo (5).

@Tarea: Escribir dos ejemplos de cada tipo anterior.

¿Qué es la solución de una ecuación diferencial?
Ö La

solución, también llamada integralde una ED de la forma general (12) es la función y=f(x,c) que satisface dicha ecuación. Ejemplo.- Es fácil ver que las funciones y = ! 2cx + c 2 son soluciones de la ecuación del ejemplo (1).

Ö Como

puede verse, la solución en realidad es una familia de funciones parametrizadas por una constante desconocida (c)

@ Ejercicio: Dibujar la familia de curvas solución para
el ejemplo anteriorpara diversos valores de c

@Tarea: Para el ejemplo (3), si k=0.1°C/seg. ¿Cuánto
tiempo tardará en enfriarse una taza de café a una temperatura ambiente de 15°C ?.Dibujar la familia de curvas solución para diferentes temperaturas iniciales de la taza de café.
- ED4 -

La Ecuación diferencial como campo vectorial
Ö Un

enfoque geométrico que nos puede ayudar a entender visualmente elcomportamiento descrito por una ecuación diferencial de primer orden se puede obtener al advertir que la ecuación resuelta respecto a la derivada: dy = f(x, y) dx establece una dependencia entre las coordenadas (x,y) dy de un punto y la pendiente dx de la curva y(x) que pasa por ese punto.

dy Ejemplo: la ecuación = x 2 + y 2 nos dice que a lo dx 2 2 largo de la curva x + y = 1, la solución de la...
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