Los Aviones

CARDINALIDAD

Introducción

No podríamos terminar este recorrido inicial por los primeros niveles del majestuoso edificio de la Teoría de Conjuntos, sin asomarnos, así sea de una manera sencillapero precisa, al apasionante tema de la numeralidad y la célebre Hipótesis del Continuo, formulación que el propio Cantor trabajó hasta su muerte tratando de demostrar sin lograrlo, y que convocó a suestudio a eminentes matemáticos como K. Gödel y Paul Cohen entre otros, obteniendo este último un sorprendente resultado cual fue su indecibilidad en la Teoría de Conjuntos.

Coordinabilidad oEquipolencia

Sean los conjuntos A y B . Si es posible establecer una biyección entre sus elementos, se dirá que A y B son conjuntos coordinables o equipotentes, y se denotará A~B . Simbólicamentepodemos definirlo:
A~B si y sólo si [pic]es una biyección.
Es de comprensión inmediata e intuitiva que si se trata de conjuntos finitos, son equipotentes aquellos que “ tengan el mismo número deelementos ”. Y en esta línea de intuición poco analítica, cabría pensar que, a su vez todos los conjuntos infinitos son biyeccionables y, por tanto, equipotentes. De hecho tal error se mantuvo hasta queGeorge Cantor definiera la equipotencia como anteriormente ha quedado establecida. No todos los conjuntos infinitos son equipotentes entre sí.
La relación de equipotencia es una relación de equivalencia.En efecto:
•  A~A
•  A~B [pic]B~A
•  (A~B) [pic](B~C) [pic]A~C
 
Conjuntos finitos e infinitos

Conviene matematizar estos dos conceptos, a los que nos hemos venido refiriendo previamente ycuyo manejo indiscriminado en las acepciones generales, puede inducirnos a errores.
8.3.1 Conjunto infinito: A es un conjunto infinito si es equipotente con una de sus partes.
Ilustración 1.
•  Dadoslos conjuntos N y [pic]; [pic], definimos:
[pic]
Esta función es biyectiva (inyectiva y sobreyectiva). Luego los conjuntos N y P son equipotentes, y en consecuencia N es infinito.
•  Sea el...